线性代数同济大学第五版课件4-3‘

一、最大无关组和秩的定义二、向量组的秩和矩阵的秩的关系三、最大无关组的等价定义第三节向量组的秩四、定理的不同表现形式主要内容定义5设有向量组A,如果在A中能选出r所含向量个数r称为向量组A的秩.最大无关组性无关向量组(简称最大无关组);r+1个向量的话)都线性相关.(ii)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有(i)向量组A0:a1,a2,···,ar线性无关;个向量a1,a2,···,ar,满足那么称向量组A0是向量组A的一个最大线记作RA一、最大无关组和秩的定义只含零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0.等于它的行向量组的秩.定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也二、向量组的秩和矩阵的秩的关系R(a1,a2,···,am).今后向量组a1,a2,···,am的秩也记作设A=(a1,a2,···,am),R(A)=r,并设r类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A).列向量组的秩等于r.在的r列是A的列向量组的一个最大无关组,所以知A中任意r+1个列向量都线性相关.因此Dr所r列线性无关;又由A中所有r+1阶子式均为零,阶子式Dr0.由Dr0知Dr所在的根据证明证明证毕证毕定理定理44向量组向量组aa11,,aa22,...,,...,aamm线性相关的充线性相关的充是是RR((AA)=)=mm..小于向量的个数小于向量的个数mm;;向量组线性无关的充要条件向量组线性无关的充要条件要条件是它所构成的矩阵要条件是它所构成的矩阵AA=(=(aa11,,aa22,...,,...,aamm))的秩的秩一个最大无关组.Dr所在的r行即是行向量组的则Dr所在的r列即是列向量组的一个最大无关组,若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式,结论,751421201)(321,a,aa（1）向量组的最大无关组一般不是唯一的.实际上如例5由R(a1,a2,a3)=2a1,a2与a1,a3及a2,a3都是a1,a2,a3的最大无关组.由R(a1,a2)=2,R(a1,a3)=2,R(a2,a3)=2可知注：若向量组A的秩为r，则向量组A中任意r个线性无关的向量都是A的最大无关组（2）向量组A和它自己的最大无关组A0等价.向量组A的任意两个最大无关组也等价。所以向量组A与向量组A0等价.a能由a1,a2,···,ar线性表示,即A能由A0线性a2,···,ar线性无关,根据a,r+1个向量a1,a2,···,ar,a线性相关,而a1,由线性表示(A中每个向量都能由向量组A表示);这是因为A0是A的一个部分组.故A0总能由A定义定义55设有向量组设有向量组AA,,如果在如果在AA中能选出中能选出rr所含向量个数所含向量个数rr称为称为向量组的秩向量组的秩.最大无关组最大无关组性无关向量组性无关向量组((简称最大无关组简称最大无关组));rr+1+1个向量的话个向量的话))都线性相关都线性相关..((ii)ii)向量组向量组AA中任意中任意rr+1+1个向量个向量((如果如果AA中有中有((i)i)向量组向量组AA00::aa11,,aa22,,······,,aarr线性无关线性无关;;个向量个向量aa11,,aa22,,······,,aarr,,满足满足那么称向量组那么称向量组AA00是向量组是向量组AA的一个的一个最大线最大线的条件(ii)知,对于A中任一向量的结论(3)知表示.定理定理55(1)(1)若向量组若向量组AA::aa11,,aa22,,······,,aamm线性线性线性无关线性无关..关关..反言之反言之,,若向量组若向量组BB线性无关线性无关,,则向量组则向量组AA也也相关相关,,则向量组则向量组BB::aa11,,aa22,,······,,aamm,,aamm+1+1也线性相也线性相数数mm时一定线性相关时一定线性相关..(2)(2)mm个个nn维向量组维向量组,,当维数当维数nn小于向量个小于向量个(3)(3)设向量组设向量组AA::aa11,,aa22,,······,,aamm线性无关线性无关,,而而必能由向量组必能由向量组AA线性表示线性表示,,且表示式是唯一的且表示式是唯一的..向量组向量组BB::aa11,,aa22,,······,,aamm,,bb线性相关线性相关,,则向量则向量bb例8全体n维向量构成的向量组记作Rn,求Rn的一个最大无关组及Rn的秩.是Rn的一个最大无关组,且Rn的秩等于n.中的任意n+1个向量都线性相关,因此向量组E是线性无关的,又根据E:e1,e2,···,en量构成的向量组在例4中,我们证明了n维单位坐标向的结论(2),知Rn解解定理定理55(1)(1)若向量组若向量组AA::aa11,,aa22,,······,,aamm线性线性线性无关线性无关..关关..反言之反言之,,若向量组若向量组BB线性无关线性无关,,则向量组则向量组AA也也相关相关,,则向量组则向量组BB::aa11,,aa22,,······,,aamm,,aamm+1+1也线性相也线性相数数mm时一定线性相关时一定线性相关..(2)(2)mm个个nn维向量组维向量组,,当维数当维数nn小于向量个小于向量个(3)(3)设向量组设向量组AA::aa11,,aa22,,······,,aamm线性无关线性无关,,而而必能由向量组必能由向量组AA线性表示线性表示,,且表示式是唯一的且表示式是唯一的..向量组向量组BB::aa11,,aa22,,······,,aamm,,bb线性相关线性相关,,则向量则向量bb显然,Rn的最大无关组很多,任何n个线性无关的n维向量都是Rn的最大无关组.三、最大无关组的等价定义定义设向量组A0:a1,a2,···,ar是向量组A的一个部分组，且满足(i)向量组A0线性无关；(ii)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示.那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组.证明证明只要证向量组A中任意r+1个向量线性相关.设b1,b2,···,br+1是A中任意r+1个向量，由条件(ii)知这r+1个向量能由向量组A0线性表示，从而根据定理定理33设向量组设向量组BB：：bb11,,bb22,,······,,bbll能由向能由向量组量组AA：：aa11,,aa22,,······,,aamm线性表示，则线性表示，则RR((bb11,,bb22,,······,,bbll))≤≤RR((aa11,,aa22,,······,,aamm).).有R(b1,b2,···,br+1)≤R(a1,a2,···,ar)=rr+1再由定理定理44向量组向量组aa11,,aa22,,······,,aamm线性相关的充线性相关的充是是RR((AA)=)=mm..小于向量的个数小于向量的个数mm;;向量组线性无关的充要条件向量组线性无关的充要条件要条件是它所构成的矩阵要条件是它所构成的矩阵AA=(=(aa11,,aa22,,······,,aamm))的秩的秩知r+1个向量b1,b2,···,br+1线性相关.因此向量组A0满足定义定义55设有向量组设有向量组AA,,如果在如果在AA中能选出中能选出rr所含向量个数所含向量个数rr称为称为向量组的秩向量组的秩.最大无关组最大无关组性无关向量组性无关向量组((简称最大无关组简称最大无关组));rr+1+1个向量的话个向量的话))都线性相关都线性相关..((ii)ii)向量组向量组AA中任意中任意rr+1+1个向量个向量((如果如果AA中有中有((i)i)向量组向量组AA00::aa11,,aa22,,······,,aarr线性无关线性无关;;个向量个向量aa11,,aa22,,······,,aarr,,满足满足那么称向量组那么称向量组AA00是向量组是向量组AA的一个的一个最大线最大线所规定的最大无关组的条件.证毕证毕例9设齐次线性方程组075,032,02243214214321xxxxxxxxxxx的全体解向量构成的向量组为S，求S的秩.解把系数矩阵A化为行最简形751110322121A~000032104301得对应的方程组44334324313243xxxxxxxxxx令自由未知量得通解,,2413cxcx10340123214321ccxxxx把上式记作x=c11+c22,知S={x=c11+c22|c1,c2R},即S能由向量组1,2线性表示.又因1,2的四个分量显然不成比例，故1,2线性无关.因此根据最大无关组的等价定义，知1,2是S的最大无关组，从而RS=2.四、定理的不同表现形式设向量组A:a1,a2,···,am构成矩阵A=(a1,a2,···,am)，根据向量组的秩的定义及定理6，有RA=R(a1,a2,···,am)=R(A).由此可知，前面介绍的定理1、2、3、4中出现的矩阵的秩都可改为向量组的秩.定理1向量b能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A=(a1,a2,···,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,···,am,b)的秩.定理1向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(a1,a2,···,am)=R(a1,a2,···,am,b).注：记号R(a1,a2,···,am)既可理解为矩阵的秩，也可理解成向量组的秩．前面我们建立定理1、2、3时，限制向量组只含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，把定理1、2、3推广到一般的情形.推广的方法是利用向量组的最大无关组作过渡.如定理3可推广为定理3设向量组B：b1,b2,···,bl能由向量组A：a1,a2,···,am线性表示，则R(b1,b2,···,bl)≤R(a1,a2,···,am).定理3设向量组B能由向量组A线性表示，则RB≤RA.定理3设向量组B能由向量组A线性表示，则RB≤RA.证明设RA=s，RB=t，B的最大无关组依次为A0：a1,a2,···,as和B0：b1,b2,···,bt.由于B0组能由B组表示，B组能由A组表示，A组能由A0组表示，因此B0组能由A0组表示,根据定理3，有R(b1,b2,···,bt)≤R(a1,a2,···,as),即t≤s.并设向量组A和例10设向量组B能由向量组A线性表示,且它们的秩相等，证明向量组A与向量组B等价.证明因B能由A线性表示，故又已知RB=RA，故有根据推论推论向量组向量组AA：：aa11,,aa22,,······,,aamm与向量组与向量组BB：：bb11,,bb22,,······,,bbll等价的充要条件是等价的充要条件是RR((AA))=R=R((BB))=R=R((AA,,BB))，，其中其中AA和和BB是向量组是向量组AA和和BB所构成的矩阵所构成的矩阵..定理定理22的推论的推论知A与B等价.),()(BARAR.),()(）（BRBARAR例11设矩阵,97963422644121121112A求矩阵A的列向量组的一个最大无关组,并用最大无关组表示其余向量.行最简形矩阵施行初等行变换变为对A解，知3)(ARA初等行变换~.3个向量组含故列向量组的最大无关三列，、、元在而三个非零行的非零首421.,,,421无关组为列向量组的一个最大故aaa00000310003011040101设A=(a1,a2,a3,a4,a5)4215213334aaaaaaa即得,334,4215213bbbbbbb可知(*)00000310003011040101~初等行变换A),,,,(54321bbbbbB把上行最简形矩阵记作(*)00000310003011040101~