线性代数期末复习-释疑解难-百度文库

2020/1/2611.任何两个矩阵A、B都能进行加(减),相乘运算吗?2.两个矩阵A,B相乘时,AB=BA吗?|AB|=|BA|?3.若AB=AC能推出B=C吗?4.非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩阵吗?2020/1/2625.设A与B为n阶方阵,问等式A2－B2=(A+B)(A－B)成立的充要条件是什么？6.设A、B、C是与E同阶的方阵,其中E是单位方阵.若ABC=E，问：BCA=E；ACB=E；CAB=E；BAC=E；CBA=E中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？2020/1/2637.设方阵A满足aA2+bA+cE=0(c0).问：A可逆吗？若可逆求A－1.8.行列式常用公式122221211112111nnnnnnnxxxxxxDxxx1)范德蒙德行列式1()ijnijxx2020/1/2642)三角行列式111212221122nnnnnnaaaaaaaaa(上三角)112122112212nnnnnnaaaaaaaaa(下三角)2020/1/26511121(1)212,1212,111(1)nnnnnnnnaaaaaaaaa1(1)2,12212,1112(1)nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa2020/1/2660ADABB0AdABCB(1)0mnFAABB3)0(1)mnAABBM2020/1/2679.计算行列式的方法有哪些?1)依定义计算行列式.2)用对角线法则计算行列式,它只适用于二阶和三阶行列式.3)利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式．例如，利用三角形行列式；一行(列)全为零的行列式；两行(列)成比例的行列式；范德蒙德行列式等等．2020/1/2684)利用行列式的性质对行列式进行变形，变成已知的或容易计算的行列式．5)利用按行(列)展开的性质对行列式进行降阶来计算行列式．6)用数学归纳法计算行列式．7)综合运用上述各法来计算行列式．其中3),4),5),6),7)最常用．2020/1/2691232233(0,2,3,,)nnnniacccbabaDbaain2020/1/261010.如果一个m×n矩阵A的秩是r,试问是否有:(1)A的任何阶数不超过r的子式都不等于零?(2)A的任何阶数大于r的子式都等于零?11.求矩阵A的秩时,是否可对A同时施行初等行变换和初等列变换?2020/1/2611答R(A)R(B)R(A)－112.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A、B的秩的关系怎样?13.如何利用矩阵的初等行变换解矩阵方程AX=B其中A为可逆方阵.解因A可逆,所以X=A-1B.A-1(AB)=(EA-1B)2020/1/261214.若向量组1,2,…,r线性相关,那么是否对于任意不全为零的数k1,k2,…,kr,都有k11+k22+…+krr=0?15.若向量组1,2,…,r线性无关,那么是否对于任意不全为零的数k1,k2,…,kr,使得k11+k22+…+krr0?2020/1/261316.如果向量组1,2,…,r(r2)中任取m个向量(mr)所组成的部分向量组都线性无关,那么这个向量组本身是否线性无关?注意当向量组1,2,…,r线性无关,则其任何一部分向量组都线性无关.17.若1,2,…,r(r2)是线性相关的,则其中任何一个向量都可由其余向量线性表示吗?2020/1/261418.列向量组1,2,…,n线性相关的充要条件是齐次线性方程组x11+x22+…+xnn=0有非零解.列向量β能由列向量组1,2,…,n线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x11+x22+…+xnn=β,即AX=β有解(但不一定是唯一解).2020/1/261519.如何用矩阵的初等行变换求向量组的一个极大无关组,并用该极大无关组表示其余向量?20.判断非齐次线性方程组有解的途径有哪几种?2020/1/261621.设A=(aij)n×n是n阶方阵,如何判定A是正交矩阵?22.设1,2,…,n是线性无关向量组,与之等价的正交向量组是否唯一?23.如何求方阵A的特征值和特征向量?24.n阶矩阵A是否一定有n个线性无关的特征向量?2020/1/261725.一个特征向量只对应于一个特征值,反之,一个特征值是否只对应于一个特征向量?26.如何证明方阵A能对角化?27.二次型的标准形是否唯一?28.如何将一个实二次型化为标准形?2020/1/261830.两个正定矩阵之和、差、积是否还是正定矩阵？29.如何判断一个二次型f=XTAX是正定的?