培优 体积求法

1.如图，P为三棱柱ABC－A1B1C1侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P－BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC－A1B1C1的体积为()A．2VB．3VC.D.4V34V3解析：设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，体积为V′，则VP－ABC＋VP－A1B1C1＝S△ABC·h＝×V′，从而四棱锥P－BCC1B1的体积V＝V′，∴V′＝V，故选D.13132332公式法培优材料二体积问题2.公式法3．如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.B.C.D.23334332A割补法4.如图所示，已知在多面体ABCD—DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________.割补法解析方法一(分割法)如图所示，过点C作CH⊥DG于点H，连结EH，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH—ABC和一个斜三棱柱BEF—CHG.于是所求几何体的体积为V＝S△DEH×AD＋S△BEF×DE＝12×2×1×2＋12×2×1×2＝4.方法二(补形法)如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半.于是所求几何体为V＝12×23＝4.答案4返回5.A1B1C1D1ACDB316aEFA1D1B67例8如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长都是a,截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求四面体B—B1DE的体积.解方法一取BB1中点F，连结DF，EF，则V＝V＋V锥B—DEF＝13B1F·S△DEF＋13BF·S△DEF＝13BB1·S△DEF＝13a·34×a22＝348a3.四面体B—B1ED锥B1—DEF方法二取BB1中点F，连结DF，EF，则V＝2V＝2·18·V＝2×18×13×34a3＝348a3.方法三设A、D两点到平面BCC1B1的距离分别为h、h′，则h′＝12h＝34a.V＝13h′·S＝13h′×14S＝13×34a×14a2＝348a3.四面体B—B1DE锥B1—DEF锥B1—ABC锥D—BB1E△BB1E正方形BB1C1C探究提高计算体积要注意几何体的割补，棱锥的性质以及选择适当的底面求出对应的高.例9如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示.(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F－BCE的体积.思维启迪(1)根据折叠前后部分元素位置关系的不变来寻找线线平行或面面平行；(2)将体积转化或者直接求出三棱锥的高和底面积进行计算.(1)证明方法一取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝12DF，∴EG綊CD.又∵AB綊CD，∴EG綊AB.∴四边形ABEG为平行四边形.∴BE∥AG.∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF.方法二由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变.∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF，同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC、CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)解方法一∵VF－BCE＝VB－CEF，由图(1)可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝12CE×DC＝12，∴VF－BCE＝VB－CEF＝13×BC×S△CEF＝16.方法二由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝12BC×CE＝12，∴VF－BCE＝13×CD×S△BCE＝16.方法三过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH⊂平面DCEF，∴BC⊥EH，又BC∩FC＝C，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝DC2＋DF2＝5，S△BCF＝12BC×CF＝52，在△CEF中，由等面积法可得EH＝15，∴VF－BCE＝VE－BCF＝13×EH×S△BCF＝16.例10.如图12是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图．已知CF＝2AD，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图12所示．求该几何体的体积．【解】取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，连接PD，QD，AD∥CP，且AD＝CP.四边形ACPD为平行四边形，图13∴AC∥PD.∴平面PDQ∥平面ABC.该几何体可分割成三棱柱PDQ—CAB和四棱锥D—PQEF，∴V＝V三棱柱PDQ－CAB＋VD－PQEF＝12×22sin60°×2＋13×1＋2×223＝33.11.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(I)求证：CE⊥平面PAD；（II）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.解(1)由//CEAB联想到，要证CEPAD平面，可证ABPAD平面，欲证ABPAD平面，只需证ABPAABAD，即可.(2)用公式-13PABCDABCDVSPA四棱锥四边形求体积.【精讲精析】（1）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因为,//,ABADCEAB所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)由（1）可知CEAD.在RtECD中，cos451DECD，sin451CECD.又因为1,//ABCEABCE，所以四边形ABCE为矩形.所以1++2ECDABCEABCDSSSABAECEDE矩形四边形＝＝＝1512+11.22＝又PA平面ABCD，1PA，所以-11551.3326PABCDVSPA四棱锥四边形ABCD＝＝13.B