大一上学期同济版高数第二章导数的概念

1第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton2一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念第二章31.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为0t则到的平均速度为v)()(0tsts0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tsts0tt221tgssot自由落体运动0tsts一、引例4设有一非均匀的细杆，x与质量之间的关系是)(xm。求细杆0x处杆的密度。解：设杆长x在0x处获一增量x，那么这一小段长为x，杆的质量应是)()(00xxxm其均匀密度是xxxxxmxxx)()(limlim)(00000xxxxxm)()(00则当0x时，其极限值就是杆在0x处的密度)(0x即2、非均匀细杆的密度上任意一点杆长杆的一端在数轴的原点0，00)()(lim0xxxxxxm5xyo)(xfyC3.曲线的切线斜率曲线NT0xM在M点处的切线x割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率tan)()(0xfxf0xx切线MT的斜率tanlimlim0xxk)()(0xfxf0xx16三个问题的共性:切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题线密度瞬时速度17二、导数的定义定义1.设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限为记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf即0xxy)(0xfxyx0lim则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.18曲线)(:xfyC在M点处的切线斜率)(0xf说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和非均匀杆的密度)()()(lim0000xxxxxxx运动质点的位置函数)(tss在时刻的瞬时速度0t)(0ts边际税率等从数学角度看就是导数.19)()(0xfxfy0xxx若上述极限不存在,在点不可导.0x若,lim0xyx也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.（简称导数）y20)(.10xf0)(xxxfxxfd)(d02、导数为常数，导函数为函数。4、求导数即为求导函数在某一点处的函数值。注意:xfxffx0lim00特别函数在x＝0处的导数可写成3则hxfhxf)()(0limh21求导三步法：xfy设1、求函数的增量xfxxfy2、算比值xyxxfxxf3、求极限0limxxyxxfxxfx0lim三、求导举例22处的导数。＝在23xxxf33xxxy解法一：32233xxxxxxy2233xxxxxf0limxxy0limx]33[22xxxx23x2f2xxf223xx12例1求解法二：3322xy32612xxx2f0limxxy2x1223例2.求函数(C为常数)的导数.解:y即例3.求函数解:axafxf)()(axlimaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1naxxfxxf)()(0limx24说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx例如，)(x)(21x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）4343xx25hxhxhsin)sin(lim0例4.求函数的导数.解:则hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx)2cos(lim0hxhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cos26的导数.解:hxfhxf)()(0limh0limhheexhx0limhheehx1例6求函数的导数.解:hxfhxf)()(0limh0limhhaaxhx0limhxahah1aaxln例5求函数0limhheh127例7.求函数的导数.解:hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0即xx1)(lnxhhh1lim028例8.证明函数在x=0不可导.证:(0)f0limxxx0x,10x,1)0(f不存在,xyoxy0()(0)limxfxfx0)0(f29则令,0hxt原式是否可按下述方法作:存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解:原式0limh)(0xfhhxf2)(0)(0xf)(210xf)(210xf)(0xf例9.设hhxf)(0)(0xf0lim21h)(0xf不能确定是否存在。30四、导数的几何意义xyo)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为)(tan0xf若曲线过上升;若曲线过下降;xyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:)0)((0xfxyo0x31.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即例10321111例11.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:3231x,0xy令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线33五、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故0x所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:xyoxy在x=0处连续,但不可导.即340001sin)(xxxxxf处的连续性和可导性。在0x解：)0(f＝)(lim0xfx处连续。在0)(xxf而xfxfx)0()(lim0不存在处不可导。在0)(xxf例12讨论01sinlim0xxxxxxx1sinlim0xx1sinlim035高等数学第十`二讲36在点的某个左邻域内六、单侧导数若极限则称此极限值为在处的左导数,记作)(0xf－即)(0xf－(右)(右))0(＋x)0(＋x))((0xf＋＋＋0x例如,xxf)(在x=0处有xyoxy定义2.设函数有定义,存在,37定理2.函数在点且)(0xf存在)(0xf＋简写为在点处左导数存在定理3.函数(右)在点必左连续.(右)若函数)(bf与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且38例13.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:)0(fxxx0sinlim01)0(fxxax0lim0a故1a时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.xfxsinlim)0(0axfx0lim)0(00)0(f3900011xxexxfx求0.f解：xe1中当0x01xe0xxe1所以，尽管在x=0的左右两侧f(x)的表达式一样，0f仍需要用充要条件去判别。xexxx01lim10xxe1011lim10fxexxx01lim10xxe1011lim00f不存在例14已知0)0(f40例15解:因为设存在,且求所以01(1())(1)lim2xfxfx41在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.例16.设xfxfx)0()(lim0故42内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:)(C)(cosxaxf)(02.axfxf)()(00)(lnx;0;sinxx1增量比的极限;切线的斜率;)(xe)(xaxeaaxln43不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.6.判断可导性44思考与练习1.函数在某点处的导数区别:)(xf是函数,)(0xf是数值;联系:0)(xxxf)(0xf注意:有什么区别与联系?])([)(00xfxf？与导函数452.设存在,则.________)()(lim000hxfhxfh3.已知则)(0xf0k4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且46证:P73题5.证明:若令,)(limAxfx则给定,0,0X当Xx时,有AxfA)(又,],[)(XXCxf根据有界性定理,01M,使],[,)(1XXxMxf取1,,maxMAAM则),(,)(xMxf)(xf在),(内连续,)(limxfx存在,则)(xf必在),(内有界.)(xfXXA1Myox