§5.2 线性微分方程组的一般理论

§5.2线性微分方程组的一般理论5.2.1齐线性方程组5.2.2非齐线性方程组上页下页返回2目的:研究方程组)()(tfxtAx(5.14)解的结构问题(其中],[)(),(baCtftA).成为当)14.5(,0)(tf(5.15)称为对应于(5.14)的齐次线性方程组(5.14)称为非齐次线性方程组,0)(tf当xtAx)((5.15)NonhomogeneousHomogeneous上页下页返回35.2.1齐线性微分方程组xtAx)((5.15)考虑定理2(叠加原理I)如果)(tu,)(tv是(5.15)的解,则其线性组合()()utvt也是(5.15)的解.定理2说明,(5.15)的所有解的集合构成一个线性空间.上页下页返回4什么是线性空间？定义设V是一个非空集合,F是一个数域.对于V中任意两个元素α，β，在V中总有唯一确定的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为γ=α+β。对于数域F中任一数k与V中任一个元素α，在V中都有唯一确定的一个元素δ与它们对应，称为与α的数量乘积，记为δ=kα。如果加法与数量乘法满足下面规律：对V中任意的α，β，γV和F中的任意的k，l，(1)α+β=β+α;(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(3)在V中存在零元素0，对于V中任一元素α都有α+0=α；上页下页返回5(4)对V中任意元素α，在V中都有α的负元素β，使α+β=0；(5)1α=α；(6)k(lα)=(kl)α;(7)(k+l)α=kα+lα;(8)k(α+β)=kα+kβ.那么，V称为数域F上的线性空间（或向量空间），V中的元素，不论其本来性质如何，都称为向量。数域：设F是复数集的子集。若F中包含0与1，并且F中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在F中，就称F为一个数域。线性空间的维数：最多的线性无关向量的个数上页下页返回65.2.1齐线性微分方程组xtAx)((5.15)考虑定理2(叠加原理I)如果)(tu,)(tv是(5.15)的解,则其线性组合()()utvt也是(5.15)的解.定理2说明,(5.15)的所有解的集合构成一个线性空间.问题：此空间维数是多少？上页下页返回7定义1:设)(,),(),(21txtxtxm为定义在区间I内的m个向量函数.如果存在m个不全为零的常数mccc,,21,使得当t在该区间内有恒等式0)()()(2211txctxctxcmm成立,那么称这m个函数在区间I内线性相关.否则称线性无关.例如221cossin,000tt，2100,0000tt，线性无关线性相关时，当),(t上页下页返回8定义2:设有n个定义在区间bta上的向量函数11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxt,由这n个函数构成的行列式121112121222122[(),(),,()]()()()()()()()()()()nnnnnnWxtxtxtxtxtxtxtxtxtWtxtxtxt,称为这些向量的Wronsky行列式.上页下页返回9定理3如果n维向量函数)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关,则它们的Wronsky行列式()0Wt,bta.定理4如果(5.15)的解)(,),(),(21txtxtxn线性无关,则其Wronsky行列式0)(tW,bta.注:定理3、4说明,由(5.15)的n个解)(1tx,)(2tx,)(,txn作成的Wronsky行列式)(tW在区间bta上要么恒为零,要么恒不为零.证明(略)c1,…,cn是非零解。反之不成立。如：(1,0,0)T,(t,1,0)T,(t2,t,0)T上页下页返回10注2.Wronsky行列式W(t)满足Liouville公式W(t)=W(t0)exp(trt0tòA(t)dt)上页下页返回11证明:(反证法)假设存在],[0bat,使得0)(0tW,则以()(,),(),(00201txtxtxn)作为系数矩阵的线性方程组有非零解，即：存在一组不全为零的常数nccc,,,21,使得0)()()(0022011txctxctxcnn.定义一个向量函数如下：)()()()(2211txctxctxctnn.由叠加原理知)(t是(5.15)的解,且满足0)(0t.又由于0)(tx显然也是方程组(5.15)满足0)(0tx的解,由存在唯一性定理知,0)()()()(2211txctxctxctnn即,)(,),(),(21txtxtxn线性相关,与题设矛盾.上页下页返回12定理5(5.15)一定存在n个线性无关的解1()xt,2()xt,,()nxt.证明任取0[,]tab,由存在唯一性定理知,(5.15)必存在n个解12(),(),,()nxtxtxt分别满足初始条件10200100010()0,()0,,()0001nxtxtxt.又因为这n个解的Wronsky行列式0()10Wt,故根据定理3,12(),(),,()nxtxtxt是线性无关的.上页下页返回13定理6若)(,),(),(21txtxtxn是(5.15)的n个线性无关解,则(5.15)的任一解均可表为)()()()(2211txctxctxctxnn,这里nccc,,,21是相应的确定常数.证明：设)(tx是(5.15)的解，初值为)(0tx，],[0bat考虑方程组：)()()()(00220110txctxctxctxnn(5.20)因为0)(0tW,故(5.20)有唯一确定的解nccc,,,21.令)()()()(2211txctxctxctynn,由叠加原理知)(ty是(5.15)的解.又因为)()(00tytx,由解的唯一性可得,)()(tytx.通解上页下页返回14推论1(5.15)的线性无关解的最大个数为n,从而(5.15)的解空间的维数是n.推论2n阶齐线性方程()(1)11()()()0nnnnxatxatxatx(LH′)存在n个线性无关解12(),(),,()nxtxtxt(称为基本解组),且(LH′)的任一解()xt可表示为1122()()()()nnxtcxtcxtcxt,其中,nccc,,,21是相应的确定常数.上页下页返回15注：(LH′)的n个解)(,),(),(21tttn线性相关的充要条件是：0)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121ttttttttttWnnnnnn.()Wt称为)(,),(),(21tttn的Wronsky行列式.上页下页返回16定义3(5.15)的n个线性无关解)(,),(),(21txtxtxn称为(5.15)的一个基本解组.定义4如果一个nn矩阵)(tX的每一列都是(5.15)的解,则称)(tX为(5.15)的一个解矩阵;如果解矩阵的列在bta上线性无关,则称为(5.15)在bta上的一个基解矩阵.如果X(t0)=E,则称)(tX为标准基解矩阵.定理1*(5.15)一定存在一个基解矩阵)(t.如果)(t是(5.15)的任一解,那么ctt)()(,这里c是确定的n维列常向量.上页下页返回17定理2*(5.15)的一个解矩阵)(t是基解矩阵的充要条件是:存在],[0bat,使得0)(det0t.定理3如果n维向量函数)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关,则它们的Wronsky行列式()0Wt,bta.定理4如果(5.15)的解)(,),(),(21txtxtxn线性无关,则其Wronsky行列式0)(tW,bta.注1：由定2*得,解矩阵的行列式或恒为零或恒不为零的结果只适用齐次ODEs给出的解矩阵。一般函数矩阵没有这样的性质，更不能用此来判断向量函数是否线性相关。上页下页返回18由定理1*得,初值问题0()()xAtxxt的解为)()()(01ttt定理2*(5.15)的一个解矩阵)(t是基解矩阵的充要条件是:存在],[0bat,使得0)(det0t.推论1*若)(t是(5.15)的基解矩阵,那么对任一非奇异常矩阵C,Ct)(也是(5.15)的基解矩阵.推论2*若)(t,)(t是(5.15)的两个基解矩阵,那么,必存在一个非奇异常矩阵C,使得Ctt)()(.上页下页返回19例1验证()0tttetete是方程组1101xx的基解矩阵,其中12(,)Txxx.解tttetette11(1)()()010t()是基解矩阵t()是解矩阵10det(0)1001又上页下页返回205.2.2非齐线性方程组)()(tfxtAx(5.14)考虑性质1(叠加原理II)如果)(t是(5.14)的解,)(t是对应的齐线性方程组(5.15)的解,则)()(tt是(5.14)的解.性质2如果)(~t和)(~t是(5.14)的两个解,则)(~)(~tt是(5.15)的解.上页下页返回21定理7设)(t是(5.15)的基解矩阵,)(~t是(5.14)的某一解,则(5.14)的任一解)(t都可表为)(~)()(tctt(5.23)这里c是确定的常数列向量.问题在(5.15)的基解矩阵)(t已知的前提下,如何求)(~t?证明因为)(~)(tt是(5.15)的解.由定理1*,存在确定的n维列常向量c,使得cttt)()(~)(,即,)(~)()(tctt,定理证毕.上页下页返回22常用方法之一——常数变易法假设(5.14)有解形如这里，c(t)是待定的向量函数)()()(tctt(5.24)将(5.24)代入(5.14)得)()()()()()()()(tftcttAtcttct)()()(ttAt)()()(tftct可逆又)(t)()()(1tfttc－ttdssfstc0)()()(1－(5.26)ttdssfstt0)()()()(1－Methodofvariationofconstant上页下页返回23定理8设)(t是(5.15)的基解矩阵,则(5.26)是(5.14)的满足初始条件0)(0t的解.由定理7、8得,初值问题0()()()xAtxftxt的解为ttdssfstttt0)()()()()()(101－(5.27)常数变易公式上页下页返回24例2:求下列初值问题的解12111,,(0)0110txexxxxx解：()0tttetete由例1知,对应齐线性方程组的基解矩阵为1210()01sssssesesesee上页下页返回25011()101000ttttststtseteeteextedsee代入常数变易公式，得2