2.2速率方程组与粒子数反转

回顾：实现粒子数反转的两个必要条件:①工作物质粒子有适当的能级结构②有合适的激励能源前瞻：分析方法:速率方程方法以及速率方程的求解步骤速率方程方法:分析粒子系统能否实现反转的一种方法速率方程:描述各能级粒子数(密度)变化速率的方程组2.2速率方程组与粒子数反转(2)求出速率方程的稳定解(数学解):求出稳态下()各能级的粒子数,或比值0dtdniijnn其中nj，ni分别是激光上能级和下能级上的粒子数。稳态----达到动态平衡时;稳态下各能级粒子数密度不再变化(即)。0dtdni(3)确定粒子数反转(即）的物理条件(物理解)1ijnn(1)列出速率方程:(i=1,2,...n)dtdnin是粒子参予光和物质相互作用的能级总数。若粒子有n个能级，则可列出n个方程，其中(n-1)个独立。速率方程的求解步骤2.2速率方程组与粒子数反转2.2.1三能级系统和四能级系统2.2.2速率方程组2.2.3稳态工作时的粒子数密度反转分布2.2.4小信号工作时的粒子数密度反转分布2.2.5均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布2.2.6均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应2.2.1三能级系统和四能级系统一、双能级系统及其速率方程1、能级图约定:实线箭头代表辐射跃迁;虚线箭头代表非辐射跃迁。E1E2ω21A21W21W12其中：W12：受激吸收几率(激励几率)W21：受激发射几率A21：自发发射几率ω21：非辐射跃迁几率21211dnWndt22121dnWndt22121dnAndt2、速率方程：双能级系统只有1个独立的速率方程方程中的每一项:某一过程的几率与该过程始态能级上的粒子数之和等于该过程导致的粒子数变化率(!)能级E2上粒子数密度的变化率为：2121212212212dnWnWnAnndt第一项：受激吸收引起的n2的增加率,取正号(过程几率与过程始态上粒子数的乘积);第二项：受激发射引起的n2的减少率,取负号;第三项：自发发射引起的n2的减少率,取负号;第四项：非辐射跃迁引起的n2的减少率,取负号。E1E2ω21A21W21W12若设g1=g2,则W12=W21=W,速率方程变为221221212)(nnAnnWdtdn3、稳定解(数学解):稳态下,故20dndt212112AWWnn可见:对二能级系统，一般总有；仅当激励速率很大时(),21nn212112AW12nn4、结论（物理解）：在光频区，双能级系统不可能实现粒子数反转二、实现上下能级之间粒子数反转产生激光的物理过程：1、三能级系统图:其中E1：基态能级,又是激光下能级,也是抽运能级。E2：激光上能级,是亚稳能级(ω21小)。E3：抽运能级,非辐射跃迁几率大(ω32大(!))其主要特征是激光的下能级为基态，极易积累粒子(几乎聚集了所有粒子)，发光过程中下能级的粒子数一直保存有相当的数量，对抽运的要求很高。所以不易实现粒子数反转.可见：四能级系统要实现粒子数反转，只要求n2＞n1，而不必令n2＞n0，而n0则是极易积累的基态粒子数。E1:非基态能级，而是一个激发态能,是激光下能级,t10小而10大(迅速弛豫到E0，抽空E1，减少n1)在常温下基本上是空的。E2:激光上能级/亚稳能级(易积累n2)E3:光抽运能级,τ32小而ω32大(迅速弛豫到E2)2、四能级系统图:1、图中所示为一个简化的四能级图，n0、n1、n2分别为基态、上能级、下能级的粒子数密度；n为单位体积内增益介质的总粒子数，R1、R2分别是激励能源将基态E0上的粒子抽运到E1、E2能级上的速率；2、速率方程:3个能级应有2个独立方程（1）E2能级在单位时间内增加的粒子数密度为：)()(121212212212121221222νfBnνfBnAnRWnWnAnRdtdn0n1n2n2.2.2速率方程组此处因为考虑到介质的线型函数远比传播着的光能量密度为的单色受激辐射光的线宽要宽得多，故用(1-54)式和(1-55)式)()(121212212212121221222νfBnνfBnAnRWnWnAnRdtdn)(02121vfBW)(01212vfBW因为E2能级向E1能级的自发跃迁几率A21远大于E2能级向基级能级E0的自发跃迁几率A20，所以这里没有考虑由A20引起的跃迁。0n1n2n(1-54)(1-55)（2）E1能级在单位时间内增加的粒子数密度为：0n1n2n101121212212110112121221211)()(AnνfBnνfBnAnRAnWnWnAnRdtdn式中各项的物理过程及物理意义如同以上所述。总的粒子数为各能级粒子数之和nnnn210)()(121212212212121221222νfBnνfBnAnRWnWnAnRdtdn101121212212110112121221211)()(AnνfBnνfBnAnRAnWnWnAnRdtdn210nnnn速率方程组以上三式即为在增益介质中同时存在抽运、吸收、自发辐射和受激辐射时各能级上的粒子数密度随时间变化的速率方程组。2.2.3稳态工作时的粒子数密度反转分布一、当激光器工作达到稳定时,抽运和跃迁达到动态平衡，各能级上粒子数密度并不随时间而改变，即：0210dtdndtdndtdn假设能级E2、E1的简并度相等，即g1=g2，因此有B12=B21，则有：将上两式相加可得：12111110121)()(ttRRnnAnRR0)()(12121221222νfBnBnAnRdtdn0)()(10112121221211AnνfBnBnAnRdtdn)(1)()()()()(212212121222122112122νfBνfBRRRνfBAνfBRRRnttttt2212122121121221022121221221()()()1()()1()1()RRRBfνnnnRRBfνRRRnBfνBfνttttttttt由上几式可得：则激光上下能级粒子数密度反转分布的表达式为：式中t1、t2分别为上、下能级的寿命。（2-7）2.2.4小信号工作时的粒子数密度反转分布)(1)(1)(21202121212212νfBnνfBRRRnnntttt由式一、小信号粒子数密度反转分布022121()nRRRtt0n它是当分母中的第二项为零时的粒子数密度反转分布值。而分母中的第二项一定是个正值，因此它又是粒子数密度反转分布值可能达到的最大值。显然只有在谐振腔中传播的单色光能密度可能趋近于零(ρ→0即I→0)，换句话说，参数n0对应着谐振腔的单色光能密度为零或者近似为零时的粒子数密度反转分布的大小参数n0对应着激光谐振腔尚未发出激光时的状态,通常把这个状态叫作小信号工作状态，而参数n0就被称作是小信号工作时的粒子数密度反转分布。n0称作小信号反转粒子数密度，它正比于受激辐射上能级寿命t2及激发几率R2。可得：（2-7）二、小信号粒子数反转的物理条件022121()nRRRtt1、激光上能级E2的寿命要长,使该能级上的粒子不能轻易地通过非受激辐射而离开;2、激光下能级E1的寿命要短,使该能级上的粒子很快地衰减;3、选择合适的激励能源，使它对介质的E2能级的抽运速率R2愈大愈好，而E1能级的抽运速率R1愈小愈好。即满足条件12tt12RR由式可知:激光工作物质的光谱线型函数对激光器的工作有很大的影响。具有均匀加宽谱线和具有非均匀加宽谱线的工作物质的反转密度行为有很大差别,由它们所构成的激光器的工作特性也有很大不同，本节只讨论均匀加宽谱线的粒子数密度反转分布情况。2.2.5均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布)(1)(1)(21202121212212νfBnνfBRRRnnntttt（2-7）对于均匀增宽的介质，其线型线型函数可以表示为：2202()()(2)νfνννν如果介质中传播的光波频率为n0，则有：Iνcνf2)(02122scνIBt2212212()sIBfνBIcνItt02()fνν且)(1)(1)(21202121212212νfBnνfBRRRnnntttt（2-7）因此，当光波频率为n0时，(2-7)分母中第二项可以改写为：其中Is为饱和光强：如果介质中传播的光波频率，则有：0νν)()(22)(2)()(0νfνfIvcννfνIcνIfcνf则有：)()(2)()()(02120212νfνfIIνcBνfνfIνfBstt一般情况下的粒子数密度反转分布可以表示为：2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν这就是均匀增宽型介质E2、E1能级间粒子数反转分布的表达式。它给出能级间粒子数反转分布值与腔内光强、光波的中心频率、介质的饱和光强、激励能源的抽运速率以及介质能级的寿命等参量的关系。(2-10)均匀增宽情形:只要入射光频率在谱线线宽范围内,所有粒子都参加受激发射/吸收.121220)(ttRRRn其中2.2.6均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应从式中可以看出，当腔内光强I≈0（即小信号）时，介质中的粒子数密度反转分布值n最大，其值为n0，n0由能级寿命、抽运速率所决定。当腔内光强的影响不能忽略时，粒子数反转分布值n将随光强的增加而减小，将这种现象称为粒子数密度反转分布的饱和效应。因此，饱和效应的原因是：入射光引起强烈的受激发射使激光上能级粒子数减少。2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1νIIννnνννIInνfνfIInnsss0νν0νν(2-10)一、粒子数反转分布的饱和效应二.△n与入射光频率v的关系0220022000()[()(2)]1()()(1)(21)sssnnIfννννnIfνννInIIνI0νν0νν讨论①nn0时:(入射光频率等于谱线中心频率)可见：I一定时，对不同入射光频率v，△n不同。sIInn10只要I≠0，必有nn0，有饱和效应;0IsI若I≈Is,n≈n0/2，饱和效应显著。这是因为中心频率处受激辐射的几率最大，故入射光造成的反转粒子数下降越严重(2-10)讨论②nn0时时:(入射光频率偏离谱线中心频率时)210nnnsII在处，0022220220220432)2/()2/(2)2/()2/(2)1()2/()()2/()(nnnIInsnnnnnnnnnnn0n20n043n结论:不论v是否偏离v0均有饱和效应;偏离v0越远,饱和作用越弱。0220022000()[()(2)]1()()(1)(21)sssnnIfννννnIfνννInIIνI0νν0νν(2-10)只要I≠0，必有nn0，仍有饱和效应;若I≈Is时，讨论③为了更具体地说明频率对n的影响，令腔中光强都等于Is，根据上式算出几个频率下的n值，如下表，可以看出，随着频率对中心频率的偏离，光波对粒子数密度反转分布值的影响逐渐减小。频率0ν