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复数的四则运算加、减、乘运算一、学习目标:1、类比实数的运算性质,理解、掌握复数的运算性质;2、理解复数加减法运算的集合意义,能够借助“数形结合”思想解体。我们知道实数有加、减、乘等运算,且有运算律:abbaabba()()abcabc()()abcabc()abcabac那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢?你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢?运算律仍成立吗?注意到i21,虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立,所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着,只要把这些零散的操作整理成法则即可了!注:⑴复数的减法是加法的逆运算;⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(交换律)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(结合律)⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.1.复数加、减法的运算法则:已知两复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d是实数)即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则:z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i在这里,把i看做字母,类比实数多项式运算(合并同类项)加减法类比向量解:原式=()()i124359=i111例1、计算(1-3i)+(2+5i)+(-4+9i)2.复数的乘法法则:2acadibcibdi)()acbdbcadi((2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在运算过程中把换成-1,然后实、虚部分别合并.说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数;i2(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有,()(),().zzzzzzzzzzzzzzzzz12211231231231213()()abicdi解:原式=()abi22=ab22解:原式=()()iiii2643213=()()ii813=iii28243=i525例2.计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i)复数的乘法与多项式的乘法是类似的.我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开,运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.注意a+bi与a-bi两复数的特点.思考:设z=a+bi(a,b∈R),那么定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作?zz,zzabi即?zzzzzzzzzz12121212,另外不难证明:一步到位!例3.计算(a+bi)(a-bi)12122(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ例、下列命题中正确的是如果是实数,则、互为共轭复数纯虚数的共轭复数是。两个纯虚数的差还是纯虚数两个虚数的差还是虚数。(2)12121212121212123()0,()0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ例、下列命题中的真命题为:若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。D如图,z1对应向量OZ1,z2对应向量OZ2,根据向量加法可知OZOZOZ12我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则,复数可以表示平面上的向量,那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢?设z1=a+biz2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)∵OZab1(,),OZcd2(,),根据向量加法的坐标运算可知OZOZOZabcd12(,)(,)=acbd(,)一致!这就是复数加法的几何意义.类似地,复数减法:Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1-OZ2这就是复数减法的几何意义.12zzz复数练习1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.解:,12,1ix.8)2()2()1()1(22444241iiiixx注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.3.已知复数是的共轭复数,求x的值.)R()23(222xixxxxi204解:因为的共轭复数是,根据复数相等的定义,可得i204i204.2023,4222xxxx6323xxxx或或解得所以.3x课外练习:i347.在复数集C内,你能将分解因式吗?xy221.计算:(1+2i)22.计算(i-2)(1-2i)(3+4i)-20+15i3.计算i3(1)4.若zC且zi(3)1,则z_____.5.已知mR且miR3(),则m_____.6.已知zi1322,求zzz322339的值.-2+2i-3-i338(x+yi)(x-yi)[结论]虚数单位i的周期性.①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,(n∈N).n也可以推广到整数集.②in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).例1设,求证:(1);(2)i2321012.13证明:(1)22)2321()2321(11ii;04323412321ii22)23(23212)21(2321iii(2)33)2321(i)2321()2321(2ii)2321)(2321(ii22)23()21(i14341[例3](2010·徐州高二检测)设P,Q是复平面上的点集,P={z|z·z-+3i(z-z-)+5=0},Q={w|w=2iz,z∈P}.(1)P,Q分别表示什么曲线?(2)设z1∈P,z2∈Q,求|z1-z2|的最大值与最小值.[分析](1)设z=x+yi,(x,y∈R),即P(x,y)→代入z·z-+3i(z-z-)+5=0→化简整理得P的轨迹方程→代入法求Q的轨迹方程(2)根据复数的几何意义→|z1-z2|的几何意义→结论[解析](1)设z=x+yi(x,y∈R).则集合P={(x,y)|x2+y2-6y+5=0}={(x,y)|x2+(y-3)2=4},故P表示以(0,3)为圆心,2为半径的圆.则a=-2y0b=2x0,将x0=12by0=-12a代入x20+(y0-3)2=4得(a+6)2+b2=16.故Q表示以(-6,0)为圆心,4为半径的圆.设w=a+bi(a,b∈R).z=x0+y0i∈P(x0,y0∈R)且w=2iz.(2)|z1-z2|表示分别在圆P,Q上的两个动点间的距离,又圆心距|PQ|=352+4,故|z1-z2|最大值为6+35,最小值为35-6.[点评]共轭复数的性质.(1)在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身,即z=z-⇔z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数.(3)若z≠0且z+z-=0,则z为纯虚数,利用这个性质,可证明一个复数为纯虚数.复数的四则运算——除法上节课,我们学习了复数的加、减、乘、运算.设12zabizcdiabcdR,(,,,)加法法则:()()()()abicdiacbdi减法法则:()()()()abicdiacbdi(减法是加法的逆运算)乘法法则:12()()()()zzabicdiacbdadbci上面法则的定义是由虚数单位i的意义及其满足的运算特性自然定义的.练习:1.计算(23)(23)ii2.已知(3)10iz,则z_____.3.已知32()252fxxxx,则(12)fi=_____.133-i2有两种方法考虑:法一:直接代入计算.法二:由12xi得2250xx整体代入妙!那么复数的除法又应怎样进行呢?注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类比思考,我们可定义复数的除法:定义:把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,其中a,b,c,d,x,y都是实数,记为()().abiabicdicdi或abixyicdi即,那么,??xy()()abicdiabixyicdi,那么,??xy除法法则:2222()()abiacbdbcadabicdiicdicdcd222222()()()()()()()abicdicdicdiabiabicdicdiacbdbcadiacbdbcadicdcdcd由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):分母实数化例1.计算(12)(34)ii解:(12)(34)ii1234ii先写成分式形式(12)(34)(34)(34)iiii化简成代数形式就得结果.222364834510122555iiiii然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)练习.计算⑴(7)(34)ii⑵21()1ii⑶113232ii练习.1.计算⑴(7)(34)ii⑵21()1ii⑶113232ii2.若1322xi,则21xx_____.1-i413i注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等.-1-1又如计算32221xxxx=1322i(整体代入法妙)练习:1.31()ii的虚部是()(A)8(B)8i(C)8(D)02.计算:20071()______.1ii3.已知复数2(1)3(1)2iizi,且21zazbi(abR、),则a+b=_____.i1A3.已知复数,且z2+az+b=1+i,求实数a,b.iiiz2)1(3)1(2解:iiiiiz232332.151326)2)(2()2)(3(iiiiiii所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i..43121baaba
本文标题:高中数学 复数的运算(修改)
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