利用最小二乘法的曲线拟合

1第3章函数逼近§3.1曲线拟合的最小二乘法2§3.1曲线拟合的最小二乘法问题的提出•某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。•提示：将拉伸倍数作为x,强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么?3数据表格编号拉伸倍数强度kg/mm2编号拉伸倍数强度kg/mm211.91.4135.05.522.01.3145.25.032.11.8156.05.542.52.5166.36.452.72.8176.56.062.72.5187.15.373.53.0198.06.583.52.7208.07.094.04.0218.98.5104.03.5229.08.0114.54.2239.58.1124.63.52410.08.14数据图01234567890246810125曲线拟合已知的离散数据yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)往往是通过观测而得到的，经常带有观测误差。曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函数(x)与被逼近函数f(x)在区间[a,b]上的偏差满足其种要求即可。6偏差设给定数据点(xi,yi),(i=0,1,2,…,n),记),,,2,1,0()(niyxeiii并称ei为偏差。7最小二乘法曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和最小为标准min])()[(0202niiiiniiyxxweEmjjjxax0)()(8例题例3.1某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲线y=P(x)。i0123456x37383940414243y3.403.002.101.531.801.902.909例题解将数据标在坐标纸上，由散点图可以推断他们大致分布在一条抛物线上。为此取22102)(xaxaaxp10例题2.9043431.9042421.8041411.5340402.1039933.0038383.4037372210221022102210221022102210aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11例题2.901.901.801.532.103.003.40434314242141411404013939138381373712102222222aaa12例题得到的方程组称为矛盾方程组。令22202122223.40137373.00138382.1013939,,1.53140401.80141411.90142422.9014343aAwaba13例题得bAw上述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以bAAwATTTA即14例题2.263682.66163.16181889964513601122845136011228280112282807210aaa解得163.0,171.13,010.268210aaa于是所求拟合曲线为22163.0171.13010.268)(xxxp15线性矛盾方程组方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程组，一般形式为nmnmnnmmbxaxaxabxaxaxa221111212111即16线性矛盾方程组（续）Ax＝bA是n×m阶的列满秩矩阵,x是m维的列向量,b是n维的列向量,min2222AxbeeeTAxbe剩余向量（3.11）（3.12）17线性矛盾方程组（续）Ax)(bAx)(beeTT02)(Ax)(bAeeTTdxd0Ax)(bAT18线性矛盾方程组（续）0bAAxATT)13.3(bAAxATT该式称为方程组Ax＝b的法方程。因此，求解n阶矛盾方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。19例题例3.2对例3.2中的数据，试求形如xaxaax10cos5sin)(210的拟合函数。解：按题意，得矛盾方程组，6,2,1,0)10cos()5sin(210iyxaxaaiii20例题2.901.901.801.532.103.003.4043)10cos(43)5sin(142)10cos(42)5sin(141)10cos(41)5sin(140)10cos(40)5sin(139)10cos(39)5sin(138)10cos(38)5sin(137)10cos(37)5sin(1210aaa21例题写成矩阵形式，为yAw其中266211200111xxxxxxA310yyyy210aaaw22例题其法方程为即yAAwATT9064.126980.16300.168090.40.06957.50.03090.40.06957.50.07210aaa23例题23解出581.3,394.0,289.5210aaa因此所求的拟合函数为xxx10cos581.35sin394.0289.5)(24例题例3.3已知观测数据(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，试用最小二乘法求形如上的经验公式。xbaxx)(25例题25解：记按题意，得矛盾方程组，写成矩阵形式，为;6,5;5,4;0,2;5,133221100yxyxyxyx)3,2,1,0(iyxbaxiii26例题写成矩阵形式，为yAw其中33221100/1/1/1/1xxxxxxxxA3210yyyyybaw27例题其法方程为即yAAwATT27其法方程为即解得于是所求拟合曲线为55.2453525.14446ba432976311.6537650114.1baxxy/432976.6537650.128已知观测数据(1，5)，(2，21)，(3，46)，试用最小二乘法求形如上的经验公式。非线性最小二乘拟合baxy29非线性最小二乘拟合bbbaaa34622115得到的是非线性方程组，求解通常比较困难。30非线性最小二乘拟合baxy两边取对数，得bzAwxzaAywxbay,lg,lg,lglglglg则得令（1）31非线性最小二乘拟合两边取自然对数，得令则得bxaeybxaylnlnbzAwxzaAyw,,ln,ln（2）32非线性最小二乘拟合（续）（3）xaby两边取对数，得BzAwxzbBaAywbxay,,lg,lg,lglglglg则得令33非线性最小二乘拟合（续）baxy1令则得,,/1xzywbazw（4）34非线性最小二乘拟合（续）（5）baxxy,/1,/1xzyw令则得bzaw35例题例3.4给定实验数据x1.001.251.501.752.00y5.105.796.537.458.46试求形如bxaey的拟合函数。36例题解对拟合函数的两边取自然对数，即bxaylnln令则上式成为关于A，b的线性函数,,ln,lnxzaAywbzAw37例题根据数据(x,y)算出对应的(z,w),得下表z1.001.251.501.752.00w1.62921.75611.87642.00822.1353建立法方程4239.144052.9875.115.75.75bA38例题解得0725.3,5057.0,1225.1AeabA因此，所求的拟合函数为xey5057.00725.339本章小结最小二乘法曲线拟和是实验数据处理的常用方法。对于非线性最小二乘拟合，需首先转化为线性最小二乘拟合后求解。40