任意角的三角函数(三角函数线)

1.2.1任意角的三角函数sinαycosxtanyx设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:y叫α的正弦x叫α的余弦叫α的正切xyyO(,)Pxyx一、任意角的三角函数的定义1:一、任意角的三角函数的定义2:Oxry),(yxP:),0(),)(,(,22那么它与原点的距离是除端点外任意一点的终边上是一个任意角设yxrryxPxyxytan,tan,)3(即记为的正切叫做比值rxrxcos,cos,)2(即记为的余弦叫做比值ryrysin,sin,)1(即记为的正弦叫做比值sinycosytany三角函数的定义域:三角函数定义域RR},2|{Zkk终边相同的角的同一三角函数值相等：000sin360sincos360cos,tan360tankkkZk公式一公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求00到3600角的三角函数值。三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：1sinyr、正弦函数值,00,yryr第一象限：故为正值；,00,yryr第二象限：故为正值；oxy,00,yryr第三象限：故为负值；,00,yryr第四象限：故为负值；上正下负横为02cosxr、余弦函数值,00,xrxr第一象限：故为正值；,00,xrxr第二象限：故为负值；,00,xrxr第三象限：故为负值；,00,xrxr第四象限：故为正值；oxy三角函数在各象限内的符号：左负右正纵为000,,yxyx第一象限：故为正值；00,,yxyx第二象限：故为负值；oxy00,,yxyx第三象限：故为正值；00,,yxyx第四象限：故为负值；3tanyx、正切函数值三角函数在各象限内的符号：交叉正负yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|三角函数线——正弦线和余弦线【思考】为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中,规定:有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sinα有向线段MP叫角α的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cosα有向线段OM叫角α的余弦线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx有向线段AT叫角α的正切线这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTMOPα的终边A(1,0)当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的正切值不存在.三角函数线的意义：方向表示三角函数值符号，长度表示三角函数值的绝对值.xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边TPMPMPMPMTAATATA(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)同学们实践：例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．332（1）；（2）．例在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sin⑴xOy-1-11121y角的终边PM例题1(2)sin;2)(]265,26[Zkkk-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:21cos221x335Zkkk352,32变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.2123xOy-1-11166113234＜α≤62|k，或322k≤α＜342kZkk，6112Zkkkkk)6112,342322,62(课堂练习1.已知是第三象限且，问是第几象限角？02cos22.若θ在第四象限，试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号课堂练习3.若lg(sintan)有意义，则是（）A第一象限角B第四象限角C第一象限角或第四象限角D第一或第四象限角或x轴的正半轴C4.已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0,sin0,则a的取值范围是。-2a35.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：(1)sinαcosα;课堂练习1.内容总结：(1)三角函数的概念.(2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号(3)诱导公式一.(4)三角函数线运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.归纳总结2.方法总结：3.体现的数学思想：