Ch00：课程简介

数值计算方法课程简介•课程名称：计算方法•教材:甄西丰，实用数值计算方法,清华大学出版社,2006.•参考书:教材中的参考文献3,12,14.•课堂用品:笔记本,计算器,草稿纸,小纸条(半张B5纸)•学时数：•任课教师：•联系电话：•Email地址：绪论•我们每学习一门新课，首先总要大体了解一下为什么要开这门课，在这门课程中我们将要学习什么内容，怎样把这门课学好，学好这门课的标志是什么等等。•计算方法是怎样一门课？它的重要性表现在什么地方？用学习数学的方法就能学好计算方法吗？为此我们首先特别引进绪论。1计算方法研究的基本问题•利用数学方法解决实际问题通常包括：分析实际问题，建立数学模型，开发求解的算法，编写求解程序，以及运行程序并得到近似结果这五个步骤。其中前面两步为建模，后面三步为模型求解。•计算方法所面对的正是“模型求解”，或者说求模型的数值解。因此我们不能把“计算方法”理解为“计算”的“方法”，而应理解为利用计算工具求解复杂数学问题的方法论和基本方法。1计算方法研究的基本问题•数值计算依赖于一定的计算工具。现在我们已经有了高性能的电子计算机和丰富的软件，这为我们进行数值计算提供了难得的物质基础，但这还远远不够。•今天的电子计算机如果仅考虑它能进行那些基本运算，那么它们的真正的计算能力也只是对有限位的数进行加、减、乘、除这四则算术运算，和早期的计算工具相比，并不具有特别的优势。•今天，作为科技计算和工程控制的主要工具有计算器，各类大，中，小，微型计算机以及单片机。从数值计算的角度看，它们都只能对具有一定数位的数进行加减乘除四则运算。实际上，大学生的基本的计算能力也是如此，与小学生差不多。1计算方法研究的基本问题•摆在我们面前的基本矛盾是：一方面随着科学技术的不断进步，我们需要求数值解的问题愈来愈复杂；另一方面，我们使用的计算工具都只能进行有限数位的数的加、减、乘、除四则运算。•计算方法研究的基本问题是如何把（实际中提出来的）复杂的数学问题的求解都尽可能有效地转化为对有限数位的数进行有限次数的四则运算。•提示：任何计算工具都只能对有限数位的数进行有限次的四则运算。2.电子计算机的优越性•虽然在电子数字计算机普及应用之前人们已经开始了对计算方法的研究，但是，结合电子数字计算机的特点来研究计算方法完全可以导致这个领域内的一场革命或者说来一次飞跃发展。•现在我们使用的计算工具是电子数字计算机，虽然也只能进行有限位的四则运算，但和早期的计算工具相比，却具有存贮程序的能力，这可以免去我们大量的重复劳动。•注意到微积分学中的初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而得到的函数类，所以，我们只要利用计算机指令解决了基本初等函数值的计算问题，并形成相应的程序，那么，我们实际上解决了所有初等函数的计算问题。3.我们的教学理念•学会数值计算对于一般理工科大学生来说无疑是非常重要的，问题是如何充分利用现代的计算机资源把这方面的知识学得更好一些。•首先应当学会直接编程计算基本初等函数值，它是科学计算赖以生存的基础。•学会利用计算机解非线性方程（组），一方面可以直接应用于工程计算，另外还解决了数学中的隐函数值的计算问题。•插值虽然是一种古老的方法，但必须赋予它新的生命力：主要应用于加速序列的收敛速率，而不再像过去一样应用于计算函数值，应用于制作数学用表。3.我们的教学理念•教材中把外推方法发挥得淋漓尽致，在数值微分，数值积分，求常微分方程数值解等领域都得到很好的应用，提高了计算效率，简化了程序设计。实际上，它的潜能还有进一步发掘的余地。•注意到数学中的非初等函数都是由初等函数序列的极限来定义的，所以利用外推法加速序列的收敛速率实际上应该是未来计算复杂函数值的基本技巧。•我们并不主张对数值计算领域中的所有问题都要先从数学理论上寻找相应的答案，而是鼓励大家对一些特定问题的求解算法根据灵感去寻找改进措施，并通过案例演算来证实其合理性。4本课程的基本内容与学时安排内容学时数0绪论21数值计算问题概述42误差分析43常用函数值计算方法44函数增量的计算方法45求函数的零点和极值点问题86简单的无约束极值问题4~67多项式计算4~84本课程的基本内容与学时安排内容学时数8线性方程组求解69最小二乘法与曲线拟合410插值方法811数值微分与外推加速方法612数值积分613常微分方程的数值解法6~124学好计算方法的几个的层次计算方法内容广泛，方法众多，即使同一个问题也可以有多种方法，要学好计算方法这门课，我们需要从几个不同的层面上来理解计算方法，从而理顺我们的思路。4-1把计算方法理解为一门学科•计算方法作为一门学科，要解决的基本问题还是如何把复杂的科技数值计算问题有效地转化为只有一定数位的数的四则运算问题。•计算方法的内容是大学数学教科书中的遗留问题。但我们决不能把计算方法简单地理解为一门数学课。在电子计算机问世以前可以说是的，现在不能。•学习计算方法的目的是为了用数学方法解决实际问题，侧重点是求模型的数值解。我们可以通过对一些些典型的数学问题的研究形成一般性的方法体系，为将来解决实际问题打好基础。4-2把计算方法理解为数学方法的伸延•我们现在毕竟是“学习”计算方法，期望值暂不要求太高，能顺利通过各种考试也行。我们的计算方法是结合大学数学教科书中的典型问题求数值解展开的，所以数学中相应的概念、定理、法则、公式对于我们求数值解肯定是有帮助的。•当我们研究典型的数学问题的数值解方法时，比如求数值积分和数值微分、求微分方程的数值解，我们完全可以把它们看作是数学教科书中的遗留问题。把它们留在这里集中解决，可以收到事半功倍的效果。4-3.把计算方法理解为求解数学问题的计算机方法•学好计算方法，落到实处就是要学会教材中所有典型问题求解的计算机方法，也就是算法。•书本中的一些算法虽然有共性，但求解不同问题的算法本质上是不同的，所以应该一个个的学好。•学会一个算法，最好立即着手编程，通过编程，还可以发现许多问题，现在有老师教，有同学帮忙，问题能得到及时解决。•现在学计算方法的条件可以说是非常好了，安排了8小时上机时间，平时上机也非常方便。所以我们学会一点东西，最好趁热打铁，马上编程，时间不够可以买点机票。5.结束语•不管是过去还是今天，计算方法研究的基本问题没有发生实质的改变。但是，过去的计算方法是面向手工和原始计算工具的。今天的计算方法是面向是电子数字计算机的。计算工具的革命必然会对计算方法的研究注入新的活力。•计算方法是连接工程数学、实际问题求解、计算机程序设计的中间环节，对于培养大学生的综合素质是非常有利的。学会了利用计算机求解工程数学中的一些典型问题后，我们不难进一步利用计算机求解实际问题！•1983年，一个由美国著名数学家拉克斯(P.Lax)为首的不同学科的专家委员会向美国政府提出的报告之中，强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事。”•衷心希望大家喜欢这门课，并怀着爱国的热情来学好这门课。