数学分析实数与数列极限-1-2

2008／09／25§1.2数列和数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X一天截下的杖长为;212122X二天截下的杖长总和为;2121212nnXn天截下的杖长总和为nnX2111.,355),-408(,先驱穷竭法公元前欧多克斯古希腊.,......275),-355(,极限思想一尺公元前庄子中国.212),-287(面积穷竭法求抛物线弓形的公元前古希腊，阿基米德.263),(,割圆术公元刘徽中国二、数列的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn}{nx给定数列.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,)1(时只要Nn.1成立有nx定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列{nx}的极限,或者称数列{nx}收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;,0,.1而且是任意小的一面强调任意性;.2的无限接近与刻划了不等式axaxnn.,.3只强调存在性有关与任意给定的正数Nx1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明注意：取多大？方法：倒推法；为保证（构造出来）存在性！是思路：验证定义；关键分析：naaNn,nnnaann11)1(,01为使.1,1即可取只要取Nn证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,,1N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即.1lim为任意实数，类似可证：anann例2.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例3.1,0limqqnn其中证明分析:000nqq，，结论成立。若nnqq，q010欲使当qN，qnlglglglg取)0(lg,lglgqqn只要：证,0任给,0nnqx,lglgqn],lglg[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lglgqn“放大不等式”分析:0)1(12limnn证明:例4证明:n21121)1(1022nnnan欲使，只要21n.21即可取N0)1(12102nNnN时，有，当，证明:03limnnn分析:例5nCCCCnnnnnn1211)11(nn2)10(.)32lg(lg即可只要n303nnnn欲使nnn)32(32证明:总有时当,Nn，，不妨设132lglg)1(0N.32303nnnnnn.03limnnn所以例6.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设axaxaxnnnaaxn,aaxn分析:证,0任给.limaxnn故,limaxnn,,,1axNnNn恒有时使得当axaxaxnnn从而有aaxna1.,1a取证明:）（，001limnn例7分析:.11N证明:.110,nnaNnn时当,1时当,1设,110nnan,11,0N对思考:时怎么办？10,}1{使用刚才结论对mn,1,N*mm可使知.01limmnn就有使得只要对,,,0NnN.1mmn等价于,1n1).(001lim，所以nn求证11limnnn例8预备知识:)0(2121innnanaaaaaa分析1:nnnnn11)11(，1111nnnnnnnnn22)1(224nnnnnn)1(212)2(nnnnn11)11(1111nnnn证明1:nnnnn22)1(2,)1(21nn可知，算术平均几何平均由,14,02N可取所以对有时当,Nn.1lim1nnn因此，分析2:,)1(,11nnnnhnhn则有设.2)1(2)1(122nnnhnnhnnnhn,211,2nhnn得约去.122nhn，1211nhnnn，122n.2211222N证明2:则有设,11nnhnnnhn)1(,2)1(2nhnn，所以12nhn,22,02N可取对有时当,Nn，1211nhnnn.1lim1nnn因此（否定所有找一个）不成立都成立否0（否定一个找所有）都不成立成立否NN“所有人都没吃”“至少一个人吃饭了”人吃了”“甲吃了”或“至少一“所有人都没吃饭”否否.,,N,0*aaNnNn成立时当一切.,,N,000*0aaNnNn使对一切否aannlim的叙述方法四、应记住的结果：1limnna（仿例8）——当时思考时和11aa0!lim0!limnnnnnnna10limqqnn)0(01limnn1limnnn五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;思考题指出下列证明1limnnn中的错误。证明要使,1nn只要使)1ln(ln1nn从而由2ln)1ln(ln)1ln(1nn得,0取1)1ln(2lnN当时，必有成立Nn10nn1limnnn作业练习题1.31,奇数;2;3;4.思考题解答1nn)1ln(ln1nn~（等价）证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1nn实际上就是不等式)1ln(ln2lnnnn即证明中没有采用“适当放大”的值nnln从而时，2ln)1ln(Nn仅有成立，)1ln(2lnn但不是的充分条件．)1ln(lnnn反而缩小为n2ln