8-2(1) 二重积分的计算方法

第8章多元函数积分学8.2二重积分的计算方法1一、利用直角坐标系计算二重积分二、小结思考题8.2二重积分的计算法（1）xoabxdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积复习：平行截面面积已知的立体的体积yyxfxxxbad),(d)()(21xbad][曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取平面故曲顶柱体体积为DyxfVd),(截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xy0x),(yxfzzxyabDO记作ydcd][dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy记作如果积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系(rightanglecoordinatesystem)计算二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,zyx)(xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf得abx.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxDX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.例1求DxydI,其中D是1x、xy及2y所围成的闭区域.解法一[X-型]解法二[Y-型]dxyxxydydxIxx2212212]2[811]8[)22(2142213xxdxxxdyxyxydxdyIyy1211212]2[811]48[)22(2124213yydyyyX=YY=2X=1YX2112例2求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx例3求DydeI2，其中D是由直线xy,1y及y轴所围成的闭区域.解dyey2不能用初等函数计算只能用Y-型.1002yydxedyI102dyyey)1(211e例4求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e例5计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxyxy1例6改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图xy222xxy例7改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图xyoD设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.利用函数奇偶性求二重积分在第一象限部分,则有1dd)(422Dyxyx例8.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224例9某城市受地理限制呈直角三角形分布，斜边临一条河.由于交通关系,城市发展不太均衡,这一点可从税收状况反映出来.若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系,则位于x轴和y轴上的城市长度各为km16和km12,且税收情况与地理位置的关系大体为yxyxR1020),((万元/平方千米)试计算该市总的税收收入.解：积分区域D如图DdyxRI),(16043120)1020(xdyyxdxdxxx1602)16195150720(=14080（万元）二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］练习.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.OxyDππxxy解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:π00:xxyDDyxxxddsinxy0dπ0dsinxx2π0dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf10)(，求110)()(xdyyfxfdx.思考题1)(xdyyf不能直接积出,改变积分次序.令110)()(xdyyfxfdxI思考题解答:则原式ydxyfxfdy010)()(,)()(010xdyyfdxxfydxxfdyyf010)()(，110)()(xdyyfdxxf故110)()(2xdyyfdxxfIxdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010Adyyfdxxf