数学分析函数的连续性-2-4

§2.4函数的极限(1)2008／10／22在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限.极限与变化过程密切相关.一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题1:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf是否无限趋近于确定值A？问题2:如何用数学语言刻划函数“无限接近”?定义1假设函数)(xf当x大于某一正数时有意义,如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式Xx的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫做函数)(xf当x时的极限,记作：)()()(limxAxfAxfx或.1Af)(或定义XAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当,的过程表示xXx注:1.2..)(表示无限接近Axf:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim2.两种特殊情形:Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且Af)(Af)(3.几何解释:XX.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxAxxysin例1.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sinx1,0,1X取时恒有则当Xx,0sinxx.0sinlimxxx故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义xfycycxfx二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf是否无限趋近于确定值A?如何刻画?;)(表示无限接近Axf.000的过程表示xxxx.0程度接近体现xx定义2假设)(xf在点0x的某一去心邻域内有意义，如果对于任意给定的正数(无论多小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫做函数)(xf当0xx时的极限,记作：)()()(lim00xxAxfAxfxx当或.1定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当注意;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf;.2有关与任意给定的正数.,)(.30和远处取值无关有关分小的空心邻域内取值的充在点值只与函数极限存在性、极限xxf:)(lim0的步骤用定义证明Axfxx|);(||)(|.10xxFAxf，得到化简);(),(||,|)(|,0.200ggxxxxF可以取只须要使即：逆序分析.3按定义写结论：.)(lim|)(|||0?,0,00AxfAxfxxxx所以，总有，当取例2).(,lim0为常数证明CCCxx证Cxf)(CC,成立,0任给0.lim0CCxx,0任取,00时当xx例3.lim00xxxx证明证,)(00xxxxf,0任给,取,00时当xx00)(xxxxf,成立.lim00xxxx例4.211lim21xxx证明证2112)(2xxxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.,1x,2)(xf要使,2112xx就有.211lim21xxx例5.lim00xxxx证00)(xxxxf,0任给},,min{00xx取,00时当xx00xxxx,)(0xxf要使,0xx就有,00xxx00xxx只要.lim,0:000xxxxx时当证明.且不取负值1)44(lim23xxx分析：4,21,3xx知令.3|1|,311xx|1||3||1)44(|2xxxx|3|3x}3,1min{例62.几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意AxfAxfxxxx)0()(lim0)(000或记作AxfAxfxxxx)0()(lim0)(000或记作3.单侧极限:)(0xf)(0xf.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例7证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x三、函数极限的统一定义;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻(见下表)过程时刻从此时刻以后nxxxNNnNxNxNx)(xfAxf)(0xx00xx0xx0xx00xx00xx过程时刻从此时刻以后)(xfAxf)(思考题试问函数0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在0x处的左、右极限是否存在？当0x时，)(xf的极限是否存在？作业(数学分析习题集)习题2.3函数的极限A2；3(4);5;8；习题2.4极限过程的其他形式及其性质A1(1)；2；3；4；解答)(lim0xfx,5)5(lim20xx左极限存在,)(lim0xfx,01sinlim0xxx右极限存在,)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim0xfx不存在.