数学分析函数的连续性-2-10

§2.10有限闭区间上连续函数的性质2008／11／06一、一致连续性定理（康托定理）定理：.],[],,[上一致连续在则bafbaCf证明：上不一致连续，在假设If.)()(0nntfsf使得：ntstsnnnn1,,},{,,nknsbas必有收敛子列由于利用列紧性证明,N,0*0n.,limbassnkn.01sskssststnnnnnknkkkk.limstnkn连续：由f但由题设：,0)()(sfsf)()(limnnkkntfsf,)()(0nnkktfsf.矛盾例1.,)()(,,存在和且bfafbaCf证明：.)(lim,)(limBxfAxfbxax令)(~xfA,ax)(xf),,(baxB.bx内在从而),()(~baxf.),(内一致连续在即baf.),(上一致连续在求证：baf,],[)(~内一致连续在baxf.也一致连续例2..)()(),(存在，内一致连续，则在bfafbaf证明：时，且当||),,(,,0,02121xxbaxx),(,21aaxx.|)()(|,0,02121xfxfaxax有;)(lim存在根据柯西收敛准则，xfaxaa（）··1x2x.|)()(|21xfxf有.)(:lim存在同理xfbx二、有界性定理证明：.],[)(上无上界在若不然，设baxf,)(],,[,N*nxfbaxnnn使].,[lim},{],,[}{baxxbaxnnknkn有收敛子列.)()(lim,存在连续由fxffnkn.,)(lim,)(矛盾有但由nnknnkxfnkxf定理：.,,,上有界在bafbaCf例3..)(lim,存在，且设xfaCfx.),[)(有界在求证：axf证明：,)(limAxfx设①.1|)(|,,AxfNxaN时使.1|||)(||)(||)(|AAAxfAAxfxf②.],[连续，必有界上在fNa.|)(|],,[MxfNax③),,[||1axMAL，则对一切令.|)(|Lxf总有三、最值定理.],,[值必能取到最大值和最小则设fbaCf).(inf),(sup],[],[xfmxfMbaxbax记.)(,)(],,[,****mxfMxfbaxx使则必根据上确界定义：为有限数故有界由于,,,Mmf使],,[,N*baxnn,)(1MxfnMn定理：证明：有子列收敛，],,[baxn.)(1MxfkMnkn则同理可证：].,[lim*baxxnkn设.)(*Mxfn可知令.)(],,[**mxfbax使四、零点定理.0)(),(,0)()(],,[fbabfafbaCf使，则且内至少有一个实根）在（即方程),(0)(baxf.0)(,0)(bfaf不妨设二等分],[ba,20,)2(babaf],2,[],[0)2(11baababaf].,2[],[0)2(11bbababaf定理：证明：)(用区间套重复上述步骤，得闭区间套：,],[],[],[],[2211nnbabababa满足：0)(,0)(nnbfaf由闭区间套定理：.],[limlim1nnnnnnnbaba，使得从而：，且，，令由0)(0)()(0)(ffnbfafnn.02lim)(limnnnnnabab.0)(f例4..)21,0(042内至少有一个根在证明方程xx证明：,42)(xxfx令.022)21(,01)0(ff.,0)(),21,0(000是方程的根使xxfx].21,0[)(Cxf例5.)2,3(01423在证明方程xxx证明：,14)(23xxxxf令,05)3(f.内恰有三个根.05)2(f].2,3[)(Cxf则,01)0(f,01)1(f.而方程至多有三个根.恰有三个实根.)2,1(),1,0(),0,3(内至少各有一个实根在例6..实根证明任意奇次方程必有证明：,)(2121212012nnnnnaxaxaxaxxp设)1()(12221221012nnnnnxaxaxaxaxxp.)(,)(limlimxpxpxx.0)(,0)(,bpapba故存在).,()(Cxp可见.0)(),,(pba使例7.],1,0[],1,0[]1,0[:Cff,)()(xxfxF令1.0,0)1(0(0)*或或若xFF),1,0(,0)1(,0)0(*xFF若证明：.)(],1,0[***xxfx使求证：.01)1()1(fF.***)(,0)(xxfxF即使,0)0()0(],1,0[)(fFCxF易见（介值定理）,)()(],[之间的任意实数与是介于，设bfafbaCf定理：.)(),,(fba使求证),()(bfaf不妨设,)()(xfxg令.)(,0)(),,(fgba即使证明：,0)()(afag,0)()(bfbg推论1..],,[之间的任何值和能取到则mMfbaCf推论2..],,[的值域构成区间则fbaCf))(,)((fMfm],[)(MmIf例8..),,(21bxxxabaCfn.)(1)(),,(1nkkxfnfba求证：],,[1nxxCf易见Mxfnmnkk1)(1.)(1)(),,(11nkknxfnfxx使证明：).(max),(min],[],[11xfMxfmnnxxxxxx令作业(数学分析习题集)习题2.9有限闭区间上连续函数的性质A1；2；3；4；5；6；7；9；10.