8.4 闵可夫斯基空间解析

§8.4闵可夫斯基空间基本内容：在四维时空的框架下建立相对论的四维形式，将物理方程改写成满足相对论要求的协变性方程,从而开拓新的研究领域一.闵可夫斯基空间(Minkowskispace)1.三维空间(threedimensionalspace)相对于转过了某一角度'系：'''123(,,)xxx'系：123(,,)xxx三维坐标线性变换具有如下形式：'1111122133'2211222233'3311322333xaxaxaxxaxaxaxxaxaxax1矩阵形式为：'11111213'22122232'31323333xxaaaxaaaxaaaxx（1）（1）式可写为：3'11,2,3iijjjxaxi（2）（3）爱因斯坦约定为变换常数。ija2'(,1,2,3)iijjxaxij10ijjikkiikjijikkjaxaxxxkjkjaa（5）（6）由于坐标轴转动使两点之间的距离保持不变，故有'2'2'2222123123''iiiixxxxxxxxxxconst（4）线性正交变换（保长变换）（3）代入（4）式得：代表正交变换条件2.四维空间(four-dimensionalspace)将三维空间坐标的线性正交变换推广为四维情况。31234(,,,)(,,,)xyztxyzictxxxyxzxict（7）1234(,,,)Pxxxx复四维空间闵可夫斯基空间222222Sxyzctconst即：222221234Sxxxx（8）'''221,2,3,4xxxxxxconst（9）二.洛伦兹变换的四维形式(Four-dimensionalformofLorentztransformation)4222'22'1''1xvtxvcyyzzvtxctvc22411vcvcxict写出（10）的矩阵方程(matrixequation)：'11'22'33'44000100001000xxixxxxixx（11）5（10）'114'22'33'441()()xxixxxxxxxix洛伦兹变换系数四维形式的正交变换条件（11）式可表示为：'vvxax（12）()vaa洛伦兹变换矩阵000100001000iai（13）6洛仑兹逆变换的变换矩阵为：000100001000iAi（14）a的转置矩阵a的逆矩阵7221xvtxvcyy洛仑兹逆变换2221zzvtxctvca1a容易验证，变换式（13）满足正交条件aaI单位矩阵，四维空间中的线性正交变换三.四维张量—物理量按空间变换的性质分类1.四维标量——零阶张量(zeroordertensor)在洛仑兹变换下保持不变，在四维空间中没有取向关系的量称为四维标量或不变量,或为洛仑兹标量.2S时空间隔固有时，是一标量2.四维矢量(4-vectar)—一阶张量84(,)iVVV空间分量时间分量（15）定义在洛仑兹变换下与四维时空坐标的变换规律相同，即'vvVaV的集合构成一个四维矢量。uV4个分量VV'114'22'33'441()()VViVVVVVVViV四维矢量的坐标变换关系（16）按（15）式的变换关系为：V9例：（1）定义四维位矢为：(,,,)(,)(,)xxyzictrictdxdricdt（17）（18）（2）定义速度矢量为：4(,)(,)(,)(,)iidxdrdticdddrdrrdticrdrdruicrrddt（19）10分析：①四维的空间分量与三位速度分量相比较，；iiu②四维的时间分量与密切联系，；c4ic③在事件为静止的坐标中，；40,iic④时，变为三维速度。ciiu[3]、定义四维加速度2222(,)ddrdtaicddd（20）3.四维二阶张量16个分量，洛仑兹规范下的变换关系为：'vvTaaT（21）1116个分量的集合，构成一个四维二阶张量当时，称为二阶对称张量当时，称为二阶反对称张量vvTTvvTT可以证明，对称张量变换后仍是对称张量，即''vvTT反对称张量变换后仍是反对称张量，即''vuTT4.四维高阶张量三阶张量3464'vvTaaaT阶张量，个分量。4nn12112212'nnnnTaaaT120阶张量——标量，0411阶张量——矢量，144四.四维矢量的微分算符四维矢量'vvaxx即，变换为一阶张量。x2.两矢量的标积为一不变量''vvAaABaB''''vvvvvvvvvvABaAaBABABaaxxxxxx四维不变量13'vvVaV1.2222222222222212341vxctxxxx是达朗伯算符(d’alembertian)，是一个四维标量算符。五.物理规律的协变性等式两边的物理量是同阶张量——协变式。例：系：AB'系：''vvvvAaABaB14故：''vvvvAaAaBB由此可见，要判断物理规律是否满足相对性原理，只要看其方程是否是协变的即可。15