8.6 差分方程(包括二阶)

§8.6差分方程上页下页铃结束返回首页一、基本概念二、一阶常系数线性差分方程三、二阶常系数线性差分方程上页下页铃结束返回首页在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本节内容。一、基本概念上页下页铃结束返回首页函数的差分下页一、基本概念设函数y=f(x)，当x以相等间隔取一系列离散值x，x+1，x+2，……，记作)(xfyxxxxyyy1xy则差yx+1yx称为函数yx的差分，也称为一阶差分，记为函数在的一阶差分的差分为函数在的二阶差分，记作，即)(xfyxxxxy2)()()(11212xxxxxxxxyyyyyyyyxxxyyy122同样可定义三阶、四阶差分．二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．上页下页铃结束返回首页差分性质一、基本概念xxyCCy)(（2）（C为常数）xxxxzyzy)(（3）（1）()0C（C为常数）114();ttttttttttyzzyyzyzzy11115.ttttttttttttttyzyyzzyyzzzzzz上页下页铃结束返回首页例1223xyxxxyxy2设，求解221[(1)2(1)3](23)23xxxyyyxxxxx221()2xxxxxyyyyy32()()xxyy(2)220.解1()xxxyaa(1).xaa21()(1)()xxxyaaa2(1).xaa11()(1)()nnxxxyaaa(1).xnaa=2(01),xxyaa例2设求xy2xy上页下页铃结束返回首页差分方程的基本概念下页含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程例如0332xyyyxxx就是一个差分方程差分方程又可定义为含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程差分方程的阶差分方程中实际所含差分的最高阶数，或差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。xxxxyyy3212例如，方程是一个二阶差分方程差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程又可表示为012xy5yyxxx上页下页铃结束返回首页下页差分方程的解如果一个函数使得差分方程两边成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解．通解特解如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称它为差分方程的通解不含有任意常数的解称为特解例如差分方程21xxyyxyx215Axyx2不难验证都是该差分方程的解（A为常数）上页下页铃结束返回首页二、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程0)(xf当时称为非齐次的，否则称为齐次的形如是常数）（aaxfayyxx,0)(1的方程称为一阶常系数线性差分方程(1)01xxayy即(1)的对应齐次方程为(2)上页下页铃结束返回首页二、一阶常系数线性差分方程01xxayy齐次线性差分方程的通解不妨设方程有形如下式的特解)0(rryxx将其代入方程0)(arrx由于，因此0rar再由差分的性质，方程的通解由上述分析，为求出一阶齐次差分方程的通解，应先写出其特征方程，进而求出特征根，写出其通解。xxCay（C为任意常数）xxay所以是方程的一个解0ra为特征方程为特征根上页下页铃结束返回首页三、二阶常系数线性差分方程形如yx+2+ayx+1+byx=f(x).(1)(其中a,b0,且均为常数)的方程,称为二阶常系数线性差分方程.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.当f(x)=0时,即yx+2+ayx+1+byx=0(2)类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构.故先求齐次方程(2)的通解.上页下页铃结束返回首页当为常数时,yx=x和它的各阶差商有倍数关系,所以可设yx=x为齐次差分方程(2)的解.代如方程得x+2+ax+1+bx=0,方程(3)称为齐次差分方程(2)的特征方程.特征方程的解两个不相等的实根1,2一对共轭复根1,2=i两个相等实根1=2yx+2+ayx+1+byx=0的通解2+a+b=0,(3)由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：1122xxxyCC121()xxyCCx1222(cossin),tanxxyCxCxrr上页下页铃结束返回首页例6求差分方程yx+27yx+1+6yx=0的通解.解特征方程为方程的根为1=1,2=6.27+6=0.原方程的通解为yx=C1+C26x.上页下页铃结束返回首页例7求差分方程yx+24yx+1+16yx=0满足条件y0=0,y1=1的特解.解特征方程为方程的根为24+16=0.原方程的通解为1,2223,i4,.3r12cossin4.33xxyCxCx上页下页铃结束返回首页代入初始条件y0=0,y1=1得012112cos0sin040,cossin41,33CCCC解出1210,,23CC故所求特解为14sin.323xxyx上页下页铃结束返回首页二、一阶常系数线性差分方程非齐次线性差分方程的通解1()()0xxyayfxfx（）下面仅就函数)m)(,0)(()(次多项式为xPbxPbxfmmx如同常微分方程一样，一阶差分方程的通解结构理论如下:非齐次差分方程通解=对应齐次方程的通解+非齐次差分方程的一个特解是特征根不是特征根bbxQxbxQbymxmxx,,)()(*是次多项式，有m+1个待定系数)(xQmm上页下页铃结束返回首页例3求差分方程的通解。12xxxyy解：对应齐次差分方程特征方程为01r特征根为1r对应齐次差分方程的通解为xCy)1(()2(())xxmfxbPx由于b=2不是特征根。因此设非齐次差分方程特解形式为*2xxyB将其代入已知方程，有xxxBB2221解得31B所以xxy231*所求差分方程的通解为xxxCyyy231)1(*（为任意常数）C上页下页铃结束返回首页Cyx)()(10*xBBxxyxxBBB232110x0121BB，xyyxx231例4求差分方程的通解1r特征根为齐次差分方程的通解为()32(())xmfxxbPx由于1b是特征根。因此非齐次差分方程的特解为将其代入已知差分方程得比较该方程的两端关于x的同次幂的系数，可解得2*2)(xxxy故于是，所求通解为22xxCyxC（为任意常数）01r对应齐次差分方程的特征方程为解：上页下页铃结束返回首页11(1)33xxxyyx01111,,423BBB例5求差分方程的通解Bxy*2对方程（2）将其代入方程解得所求通解为)1(31xyyxxx(1)311xxyy(2)1113()243xxyCxxC（为任意常数）解：10r对应齐次差分方程特征方程为1r特征根为Cyx齐次差分方程的通解为由叠加原理知方程的特解由下面两个方程的特解相加得到*1013()xyBBx对方程（1）原方程的特解为***12013()xyyyBBxBx上页下页铃结束返回首页二阶常系数非齐次线性差分方程的解法f(x)byayyx1x2x(1)对应齐次方程.*cxy(x)yy设*y是方程(1)的一个特解,)(xyc是(2)的通解,那么方程(1)的通解为0byayyx1x2x(2)问题归结为求方程(1)的一个特解.上页下页铃结束返回首页xmb(x)Pf(x)其中(x)Pm是m次多项式,b为非零常数.设特解的形式为xmμ*(x)bQxy,其中)(tQm是与)(tPm同次的多项式,其系数待定，是特征重根.2，是特征单根，1,不是特征根，0,μbbb用待定系数法求解.上页下页铃结束返回首页解所以对应齐次方程的通解为故原方程通解为求差分方程122yyyx1x2x的通解.例6因为1b,112f(x)x是单特征根,则设形式特解为,Axy*代入原差分方程得,4A.4x2)(CCyx21x特征方程为022x21c2)(CC(x)y2,121特征根为,122Ax1)A(x2)A(x