4余弦函数图像与性质(公开课使用)

余弦函数的图象与性质X各位老师好！正弦函数的图象•描点法•几何法•五点法（关键点）思考：余弦函数怎么画呢？余弦函数的图像•描点法•几何法•五点法思考：还有其他的方法吗？Rx,cosxy-2-o23x-11y提示：由已知到未知？作余弦函数y=cosx(x∈R)的图象思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？x)cos(cosxyx)](2πsin[x)2πsin(注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。2πx6yo--12345-2-3-41正弦、余弦函数的图象余弦函数的图象正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同正弦函数的性质•我们已经学习了正弦函数的性质，能不能类比学习余弦函数的性质呢？1.定义域2.值域3.周期性4.单调性5.奇偶性6.对称性•具体有哪些不同呢？余弦函数的性质•我们从下面几个方面考虑：1.定义域和值域2.周期性3.单调性4.奇偶性5.对称性xyo1-1-2-234Rxsinx,y1.正弦曲线的定义域和值域Rx,cosxy-2-o23x-11y余弦曲线函数定义域值域sinyxcosyx[1,1][1,1]RRyx2346021-15y=sinx(xR)当x=时，函数值y取得最大值1；k22当x=时，函数值y取得最小值-1k22观察下面图象：yx2346021-15y=cosx(xR)当x=时，函数值y取得最大值1；当x=时，函数值y取得最小值-1k2观察下面图象：因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，…与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同2,4,0,2,,2,0,4,2正弦曲线的周期xy---------1-12o46246sin(2)sinxkxkZ因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，…与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同2,4,0,2,,2,0,4,2余弦曲线的周期2o46246xy---------1-1cos(2)cosxkxkZ由此可知，2,4,,2,4,2(,0)kkZk2都是这两个函数的周期。是它的周期，最小正周期为2,0kkZk即正弦、余弦函数的相同性质x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)定义域值域周期性xRy[-1,1]T=23.正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数正弦函数的奇偶性图像关于原点对称3.正弦、余弦函数的奇偶性x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数正弦、余弦函数的奇偶性一般的，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。关于y轴对称3.正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性4.正弦、余弦函数的单调性正弦函数的单调性y=sinx(xR)增区间为[，]其值从-1增至122xyo--1234-2-31223252722325xsinx2223…0………-1010-1减区间为[，]其值从1减至-1223[+2k,+2k],kZ22[+2k,+2k],kZ2234.正弦、余弦函数的单调性余弦函数的单调性y=cosx(xR)xcosx22-……0……-1010-1yxo--1234-2-31223252722325增区间为其值从-1到1减区间为其值从-1到1[0,][,0],[2,2],kkkZ[2,2],kkkZ对称性yx2346021-15y=sinx(xR))0,k对称中心（2kx对称轴：观察下面图象：yx2346021-15y=cosx(xR))0,2k对称中心（kx对称轴：观察下面图象：函数性质y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定义域值域最值及相应的x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴x∈Rx∈R[-1,1][-1,1]x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1周期为T=2π周期为T=2π奇函数偶函数在x∈[2kπ-π，2kπ]上都是增函数。在x∈[2kπ，2kπ+π]上都是减函数,(kπ,0)x=kπx=2kπ+时ymax=1x=2kπ-时ymin=-1π2π2在x∈[2kπ-,2kπ+]上都是增函数,在x∈[2kπ+，2kπ+]上都是减函数.π2π2π23π2(kπ+,0)π2x=kπ+π2例子例画出函数y=cosx-1，x[0,2]的简图，并讨论性质：xcosxcosx-12230210-1010-1-2-10yxo1-122322y=cosx-1，x[0,2]y=cosx，x[0,2]还有其他方法吗有什么性质呢？函数y=cosx-1定义域R值域[-1,1]奇偶性偶函数周期性单调性当时，函数是增加的；当时，函数是减少的最值当时，最大值为0；当时，最大值为-222,21xkkkZ21,2xkkkZ2xkkZ21xkkZ余弦函数的图象小结1.余弦曲线五点法2.注意与正弦函数的性质对比来理解余弦函数的性质正弦函数得出（借助诱导公式）谢谢！作业：课本P332、4....XYO.2ππ23π2πxsinx2ππ23π2π0010-101-1用五点法作y=sinx,x∈[0，]的简图2π....XYO.2ππ23π2πxcosx2ππ23π2π010-1011-1五点法作y=cosx,x∈[0，]的简图2π2oxy---11--13232656734233561126-oxy---11--13232656734233561126与x轴的交点)0,0()0,()0,2(图象的最高点)1,(2图象的最低点)1(,23与x轴的交点)0,(2)0,(23图象的最高点)1,0()1,2(图象的最低点)1,(简图作法(五点作图法)(1)列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(2)描点(定出五个关键点)(3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)2oxy---11---1--1oA作法:(1)等分3232656734233561126(2)作正弦线(3)平移61P1M/1p(4)连线2,0,sinxxy2.用几何法如何作出的函数图象？