数学分析第2章(2.3-2.4)

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]第二章极限与连续第一节数列极限和无穷大量第二节函数极限第三节连续函数第四节无穷小量与无穷大量的阶第三节连续函数一、连续的定义二、连续函数性质与运算三、初等函数的连续性四、间断点及其分类五、闭区间上连续函数的基本性质六、函数的整体连续性——一致连续1.函数在一点的连续性函数的增量.,),(,)()(0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数xxxxxUxxUxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy00xxx0)(xfyxyxy00xxx0xy)(xfy一、连续的定义连续的定义定义1设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是定义2设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那末就称函数)(xf在点0x连续.:定义.)()(,,0,000xfxfxx恒有时使当0lim()xxfx0()fx在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在左右极限存在并相等例1试证函数1sin,0,()0,0xxfxxxx在0x连续．证因001lim()limsin0xxfxxx，而(0)0f，即0lim()(0)xfxf，故f在0x处连续．2.单侧连续定理函数f在0x处连续f在0x处既左连续又右连续．设f在00[,)xx(00(,]xx)内有定义,若00lim()()xxfxfx(00lim()()xxfxfx)则称f在x0右(左)连续.例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解00lim()lim(2)2(0),xxfxxf右连续但不左连续,故函数f在点x=0处不连续．00lim()lim(2)2(0),xxfxxf3.区间上的连续函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,.),(内是连续的有理函数在区间例3.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的,sin有,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy例4证明内连续在),(xay证只须证明，有对),(0x00limxxxxaa][limlim0000xxxxxaay]1[lim00xxxaa)1(lim00xxxaa0处连续在故),(0xayx二、连续函数性质与运算定理f在x0连续0(),0,UxKs.t.0(),xUx()fxK．1.局部有界性2.局部保号性定理f在x0连续,且0()0fx,则:r00()rfx00(),(),UxxUx0()()0,()fxfxfxr．f,g在x0连续,00()()fxgx0(),Uxs.t.0(),xUx()()fxgx4.不等式性质3.局部保序性f,g在x0连续,0000(),(),UxxUx()()fxgx00()()fxgx5、反函数连续性定理严格单调的连续函数必有同严格单调的连续反函数定理若f,g在x0连续,则,,ffgfgg(0()0gx)都在x0连续．定理设y=f(u),u=g(x),若g在x0连续,f在u0=f(x0)连续,则fog(即y=f(g(x))在x0连续．7.复合函数的连续性6.四则运算性质例如sin,cosxx在(,)内连续，故tan,cot,sec,cscxxxx在其定义域内连续．定理)].(lim[)()]([lim,)(),(,)(lim000xgfafxgfaufxguaxgxxxxxx则有连续在点函数若证,)(连续在点auuf.)()(,,0,0成立恒有时使当afufau,)(lim0axgxx又,0,0,00时使当对于xx.)(成立恒有auaxg将上两步合起来:,0,0,00时使当xx)()]([)()(afxgfafuf.成立)()]([lim0afxgfxx)].(lim[0xgxx意义1.极限符号可以与函数符号互换;.))((.2的理论依据变量代换xgu例4.)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解例5.1lim0xexx求.1)1ln(lim0yyy原式解,1yex令),1ln(yx则.0,0yx时当yyy10)1ln(1lim同理可得.ln1lim0axaxx三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★)1,0(aaayx指数函数;),(内单调且连续在★)1,0(logaaxya对数函数;),0(内单调且连续在定理基本初等函数在定义域内是连续的.★xyxaalog,uay.logxua,),0(内连续在,不同值讨论(均在其定义域内连续)定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,,1cosxy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32xxy,1,0:xxD及在0点的邻域内没有定义..),1[上连续函数在区间注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.例6.1sinlim1xxe求1sin1e原式.1sine例7.11lim20xxx求解解)11()11)(11(lim2220xxxxx原式11lim20xxx20.0)()()(lim000定义区间xxfxfxx四、间断点及其分类设f在x0的某去心邻域有定义,若f在x0无定义,或f在x0有定义而不连续,则称f在x0间断,x0称为f的间断点或不连续点．f在点x0处连续必须满足的三个条件：f在点x0处有定义；f在点x0处有极限；f在点x0处的极限等于f(x0)1.概念1)跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf例8.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy2.分类2)可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx例9.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy1121yx2yx解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例9中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在函数在点xoxy1123)第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例10.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间例11.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解1sinyx,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x例12讨论的连续性xxxxfnnn2211lim)(若有间断点判别其类型，并作出图形解)1|(|0limqqnn由于则若故1||xnnnxxxxf2211lim)(x则若1||xnnnxxxxf2211lim)(1)1(1)1(lim22nnnxxxx则若1||x0)(xf1||1||01||)(xxxxxxf外连续除去1)(xxf时当1x1)01(,1)01(ff1)01(,1)01(ff跃间断点）都是第一类间断点（跳1x狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★o1x2x3xyxyfx,,1,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxf在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:例13.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a定义:.)()()())()(()()(,),(0000值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI例如,,sgnxy,),(上在,2maxy;1miny,),0(上在.1minmaxyy,sin1xy,]2,0[上在;0miny,1maxy五、闭区间上连续函数的基本性质1.最值性定理定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.ab21xyo()yfx).()(),()(],,[],,[,],,[)(2121xffxffbaxbabaCxf有使得则若注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.xyo()yfx211xyo2()yfx定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证,],[)(上连续在设函数baxf],,[bax,)(Mxfm有},,max{MmK取.)(Kxf则有.],[)(上有界在函数baxf定理(零点定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号(即0)()(bfaf),那末在开区间ba,内至少有函数)(xf的一个零点,即至少有一点)(ba，使0)(f.定义.)(,0)(000的零点称为函数则使如果xfxxfx.),(0)(内至少存在一个实根在即方程baxf2.介值性定理ab321几何解释:=(),.yfxxx连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧则曲线弧与轴至少有一个交点定理(介值定理)设函数)(xf在闭区间b