误差原理第四章 最小二乘法

4、最小二乘原理1）最小二乘法原理n次重复测量（x1,x2,…,xn）最佳估计^OPTxOPTxxvii^残差平方和最小min2^2)(^^SxxvSOPTOPTiixx---残差平方和最小ixnxOPT1^4.1经典最小二乘法一.两个未知量情况1[][][][][][][][]bbalabblxaabbabab2[][][][][][][][]abalaablxaabbabab注意到方程组形式上有如下特点：(1)沿主对角线分布着平方项系数,,aabbhh(2)以主对角线为对称线，对称分布的各系数彼此两两相等。都为正数。0C0y例4.1在不同温度下．测定铜捧的长度如下表，试估计时的铜棒长度和铜的线膨胀系数。二.T个未知量的情况ilit0102,yxyx解列出误差方程式中——在温度下铜捧长度的测得值；——铜棒的线膨胀系数。为两个待求估计参数，则误差方程可写为令根据误差方程，我们可列出正规方程又将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得解得即因此铜棒长度随温度的线性变化规律为三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理不等精度误差方程转化为等精度误差方程为例4-2已知测量方程iY对的测量数据及其相应的标准差为试列出最小二乘估计的正规方程。解列出残余误差方程确定各测量数据的权。根据误差方程及各测量数据的权，我们写出正规方程式中则正规方程为四、非线性参数最小二乘法非线性转化为线性：为获得非线性函数的展开式．必须首先确定待求估计量的近似值，其方法有二个：(1)直接测量：若条件允许，可直接测量待求量，rx(2)利用部分方程式进行计算。即可作为其近似值。所得结果例4-3将下面的非线性残余方程组化成线性的形式。120,0vv1R2R1020,RR取方程组中前二式，令，则可得与的近似值，即处展开，取一次项，有将函数在代入残差方程，得线性残差方程五、对同一量重复测量数据的最小二乘法4.2精度估计一、测量数据的精度估计1.等精度测量数据的精度估计例4-4试求例4-1中铜棒长度的测量精度。解已知残余误差方程可得残余误差为则标准差为2．不等精度测量数据的精度估计二、最小二乘估计量的精度估计1.等精度测量时最小二乘估计量的精度估计标准差为式中——测量数据的标准差2.不等精度测量的情况不等精度测量的情况与等精度的类似例4-5试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度。解已知正规方程为测量数据il的标准差为求解不定乘数的方程为解得估计量的标准差为因故例4-6已知135.3x，测得ijxx的值为ijl，并已知1269.5l134.4,l1428.3,l2364.4,l2442.1,l3421.9l试用最小二乘法求234,,xxx及其误差。解第一步，残余误差方程组已知135.3,x代入上式得第二步，正规方程则解得第三步，测量数据精度估计则测量数据标准差为第四步，估计量精度估计求解不定乘数解得则估计量的标准差为4.3矩阵最小二乘法一、线性模型二、最小二乘法解1.等精度情况下的矩阵形式的正规方程0TAV2.不等精度测量时，正规方程可表示为0TAPV1TXCAL*1()TXCAPL三、待求量稻度估计1.等精度测量不定乘数2.不等精度测量不定乘数