课题二 数列与函数极限

第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限【授课时数】总时数：4学时.【重、难点】重点：函数极限和左右极限的定义和求法，由函数的变化趋势引出。难点：正确求解函数的极限和左右极限，由实例讲解方法。【学习目标】1、知道函数极限和左右极限的概念；2、会求数列和函数的极限或左右极限。第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限2、截棒问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”;211X为第一天截下一半的棒长;21nnXn为天截剩下棒一半的棒长第nnX210021nnX但第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限二、数列的极限上例可写成021limnn定义1当n无限增大时，如果数列无限接近于一个确定的常数A，则称A为当n时数列nx的极限，记为Axnnlim)(nAxn或或写成)(021nn第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限它的极限[例1]并写出时的变化趋势当考察下列数列，nnxnn1)1(1.1解如右图所示第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn通过上面演示实验的观察:因此1])1(1[limnnn第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限它的极限[例1]并写出时的变化趋势当考察下列数列，n2.2nx解知有项我们写出这个数列的所，，，，22222limn)(lim是常数一般地有CCCn第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限它的极限[例1]并写出时的变化趋势当考察下列数列，nnnx3.3解知有项我们写出这个数列的所，，，，n3332nn3lim不趋近于一个常数也无限增大无限增大时当，，nn3因此(不存在)第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限它的极限[例1]并写出时的变化趋势当考察下列数列，nnnx)1(.4解,)1(1,111知有项我们写出这个数列的所，，，，n不存在nn)1(lim不趋近于一个常数之间振荡与在无限增大时当，，nn11)1(因此(不为无穷大)第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限需要注意:⑴n这里是指n取正整数无限增大；⑵数列的极限这里是指当n无限增大时，数列的变化趋势，而不是指某一项的值。第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限思考题当n时，0是否是数列)1|(|qqxnn的极限？是答案:第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限.sin][时的变化趋势当观察函数引例xxx三、函数的极限-100-80-60-40-20020406080100-0.4-0.200.20.40.60.81y=sinx/x)第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限:的三层含义x（1）x取正值无限增大，记作x；（2）x取负值而|x|无限增大，记作x；（3）x可取正值，也可取负值而|x|无限增大，记作x..0sin)(,||无限接近于无限增大时当xxxfx通过对上面演示实验的观察可知:第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限上例可写成0sinlimxxx定义2当x时，若函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称A为当x时函数)(xf的极限，记为Axfx)(lim)()(xAxf或或写成)(0sinxxx时函数的极限x.1第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限定义3当x时，若函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称A为当x时函数)(xf的极限，记为Axfx)(lim)()(xAxf或定义4当x时，若函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称A为当x时函数)(xf的极限，记为Axfx)(lim)()(xAxf或上例可写成0sinlimsinlimxxxxxx第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例2]用观察法写出下列极限)11(lim.1xx解1)11(limxx的图象如下图所示函数xy11因此oxy1xy11第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限1)11(lim)11(lim1)11(limxxxxxx上例中有一般地有AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim!法来讨论函数的极限今后我们一般用这种方第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例2]用观察法写出下列极限xarcxcotlim.2解xarcxcotlim由于的图象如下图所示函数xarcycotoxy2xarcycot0cotlimxarcx因此不存在xarcxcotlim第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例2]用观察法写出下列极限xxsinlim.3解不存在xxsinlim由于的图象如下图所示函数xysin因此不存在xxsinlim不存在xxsinlim第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例2]用观察法写出下列极限xxelim.4解xxelim由于的图象如下图所示函数xey因此不存在xxelim0limxxeoxyxey1第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限思考题不存在答案:?coslimxx第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限填空题:1.nnn1lim，nn5.0lim，nn3lim．2.xx2lim，xx2lim，xx2lim．3.xxx21lim.练习题100不存在2第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限.111][2时的变化趋势当观察函数引例xxxy112xxy)2,1(Ao1-1xy2第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限:0的三层含义xx（1）x从0x右侧趋近于0x，记作0xx（0xx）；（2）x从0x左侧趋近于0x，记作0xx（0xx）；（3）x从0x两侧趋近于0x，记作0xx（x可以不等于0x）.通过对上面演示实验的观察可知:.|,211112无定义但时还有当xyxx，yx第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限上例可写成211lim21xxx定义4当0xx时，若函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称A为当0xx时函数)(xf的极限，记为Axfxx)(lim0)()(0xxAxf或或写成)1(2112xxx时函数的极限0.2xx第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例3]用观察法写出下列极限)11(lim.11xx解2)11(lim1xx的图象如下图所示函数11xy因此oxy11xy)2,1(M-1-1-2第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例3]用观察法写出下列极限xxarctanlim.21解4arctanlim1xx的图象如下图所示函数xyarctan因此oxy22oxy14)4,1(Mxyarctan第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例3]用观察法写出下列极限解1)(lim0xfx的图象如下图所示函数)(xfy因此).(lim,0,10,1)(.302xfxxxxxfx求已知yox1xy112xy第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限说明:（1）函数在0xx时的极限值只与其在0x附近的变化趋势有关，而与该点处的函数值无关；（2）一些常用函数的极限：①CCxxx)(0lim（C为常数）②00limxxxx③0sinlim0xx④1coslim0xx⑤1sinlim2xx⑥0coslim2xx对于象上例中的分段函数，在0xx的左右二侧的函数解析式不同，为了更好地体现0xx时函数的变化趋势，下面我们来学习单侧极限．第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限定义6当0xx时，若函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称A为当0xx时函数)(xf的右极限，记为Axfxx)(lim0)()(0xxAxf或或Axf)0(0定义5当0xx时，若函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称A为当0xx时函数)(xf的左极限，记为Axfxx)(lim0)()(0xxAxf或或Axf)0(0时函数的单侧极限0.3xx左极限和右极限统称为单侧极限．第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限前例可写成1)1(lim)(lim00xxfxx1)00(f或1)1(lim)(lim200xxfxx1)00(f或一般地,有AxfAxfxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例4]限和极限写出下列函数的单侧极解不存在)(lim0xfx的图象如下图所示函数xxxf||)(故.0,||)(.1xxxxf已知yx11o1lim)(lim00xxxfxx1lim)(lim00xxxfxx(左、右极限存在，但不相等）第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限[例4]限和极限写出下列函数的单侧极解1)(lim1xfx的图象如下图所示函数)(xfy故.1,1,1,01,)(.2xxxxxxxf已知yxo1lim)01(1xfx1lim)01(1xfx11第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限填空题:1.)1(lim21xx，xxtanlim0，xx2lim1．2.xx5.00loglim，xx2lim0，1lim1xx．3.|1|1lim21xxx.|1|1lim21xxx.|1|1lim21xxx.练习题202102不存在2第一章极限与连续四川职业技术学院数学教研室课题二数列与函数极限通过本课题学习，学生应该达到：1．会用观察法写出函数的极限；2．会用左、右极限来判断函数的极限是否存在。【课后练习】【授课小结】1．P004习题1-2(一)；2．P004习题1-2(二)。