高中数学必修五第一章正弦定理

必修五第一章正弦定理一．选择题（共14小题）1．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=，则b的值为（）A．B．2C．D．2．已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2=a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．3．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则B等于（）A．B．C．D．4．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，则角A的大小为（）A．B．或C．D．5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则角B的大小为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosC+sinC﹣=0，则的值是（）A．﹣1B．+1C．+1D．27．已知G点为△ABC的重心，设△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c且满足向量，若atanA=λb•sinC，则实数λ=（）A．2B．3C．D．8．在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，c=3，且，满足题意的△ABC有（）A．0个B．一个C．2个D．不能确定9．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（）A．0＜C≤B．0＜C＜C．＜C＜D．＜C≤10．已知△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，且，那么满足条件的△ABC（）A．有一个解B．有两个解C．不能确定D．无解11．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（+1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形13．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．D．14．已知△ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．＜a＜2B．＜a＜2C．2＜a＜D．2＜a＜2二．填空题（共6小题）15．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，a=4，b=5，c=6，则=．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA=﹣2ctanB，且a=8，△ABC的面积为，则b+c的值为．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin（B+）=，△ABC的外接圆半径为，则△ABC周长的最大值为．18．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．19．如图，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2，求cosA=．20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为．三．解答题（共6小题）21．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c﹣b=2bcosA．（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B．22．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，sinB=2sinC，求c．23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求的取值范围．24．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求b的值；（2）若，求△ABC周长的取值范围．25．已知△ABC中，D为边AC上一点，BC=4，∠DBC=45°．（1）若CD=4，求△BCD的面积；（2）若角C为锐角，AB=8，sinA=，求CD的长．26．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．2018年05月04日必修五第一章正弦定理参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2018•江西模拟）已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=，则b的值为（）A．B．2C．D．【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得：sinA=，结合sinA≠0，即可解得b的值．【解答】解：∵+=，∴ccosB+bcosC=bc=，∴由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=，可得：sinA=，∵A为锐角，sinA≠0，∴解得：b=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．2．（2018•河南一模）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2=a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由b2=a（a+c）利用余弦定理，可得c﹣a=2acosB，正弦定理边化角，在消去C，可得sin（B﹣A）=sinA，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．【解答】解：由b2=a（a+c），利用余弦定理，可得：c﹣a=2acosB，利用正弦定理边化角，得：sinC﹣sinA=2sinAcosB，∵A+B+C=π，∴sin（B+A）﹣sinA=2sinAcosB，∴sin（B﹣A）=sinA，∵ABC是锐角三角形，∴B﹣A=A，即B=2A．∵0＜B＜，＜A+B＜π，（角C为锐角）那么：＜A＜，则=sinA∈（，）．故选：B．【点评】本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3．（2018•信阳二模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则B等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用正弦定理与两角和的正弦公式，结合三角形内角和定理，求出sinB的值，即可求得角B的大小．【解答】解：△ABC中，asinBcosC+csinBcosA=b，由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，且sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=，∴sin（A+C）=；又A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB=；又a＞b，∴B=．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理与两角和的正弦公式以及三角形内角和定理的应用问题，属于基础题．4．（2018•揭阳一模）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，则角A的大小为（）A．B．或C．D．【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】直接利用正弦定理，转化求解即可．【解答】解：△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，a＜b则，A＜B，A+B＜π，，sinA==，所以：A=．故选：D．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．5．（2017秋•罗庄区期末）△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则角B的大小为（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；58：解三角形．【分析】利用正弦定理化为三边关系，再由余弦定理求出cosB的值，从而求出角B的大小．【解答】解：△ABC中，，由正弦定理得，=；∴b2﹣a2=ac+c2，即c2+a2﹣b2=﹣ac；由余弦定理得，cosB===﹣；又B∈（0，π），∴角B的大小为．故选：B．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，是基础题．6．（2017秋•寻乌县校级期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosC+sinC﹣=0，则的值是（）A．﹣1B．+1C．+1D．2【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．【分析】sin=2，可得C+=B+=，A，再利用正弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，sin=2，可得C+=B+=，解得C=B=，∴A=，∴===+1．故选：B．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2017秋•广西期末）已知G点为△ABC的重心，设△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c且满足向量，若atanA=λb•sinC，则实数λ=（）A．2B．3C．D．【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】连接AG，延长交AG交BC于D，由于G为重心，故D为中点，CG⊥BG，可得DG=BC，由重心的性质得，AD=3DG，即AD=BC，利用余弦定理可得：AC2+AB2=2BD2+2CD2，即b2+c2=5a2，由atanA=λb•sinC，结合正弦定理，余弦定理即可计算得解．【解答】解：如图，连接AG，延长交AG交BC于D，由于G为重心，故D为中点，∵CG⊥BG，∴DG=BC，由重心的性质得，AD=3DG，即AD=BC，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos∠ADB，∵∠ADC+∠BDC=π，CD=BD，∴AC2+AB2=2BD2+2AD2，∴AC2+AB2=BC2+BC2=5BC2，∴b2+c2=5a2，可得：cosA===，∵atanA=λb•sinC，∴λ====．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理、三角形重心性质、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2018春•宿州期中）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，c=3，且，满足题意的△ABC有（）A．0个B．一个C．2个D．不能确定【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理解得sinB，即可判断三角形的个数．【解答】解：，c=3，且，由正弦定理可得sinB===1，由B为三角形的内角，可得B=，可得满足题意的△ABC有一个．故选：B．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（2018春•台州期中）在△ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（）A．0＜C≤B．0＜C＜C．＜C＜D．＜C≤【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得b的范围，进而利用余弦定理表示出cosC的表达式，根据b的范围求得cosC的范围，进而求得C的范围．【解答】解：因为c=AB=1，a=BC=2，b=AC根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1＜b＜3，根据余弦定理cosC=（a2+b2﹣c2）=（4+b2﹣1）=（3+b2）=+=（﹣）2+≥所以0＜C≤30°故选：A．【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题的基本的推理能力．10．（2