2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1.1.2-余弦定理(二)-正式版

1．1.2余弦定理(二)[学习目标]1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1．a2＝b2＋c2－2bccos__A，b2＝c2＋a2－2cacos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C．2．cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab．3．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角，c2a2＋b2⇔C为钝角；c2a2＋b2⇔C为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是________．(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形；(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案(2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形答案A解析方法一在△ABC中，由已知得1＋cosB2＝12＋a2c，∴cosB＝ac＝a2＋c2－b22ac，化简得c2＝a2＋b2.故△ABC为直角三角形．方法二原式化为cosB＝ac＝sinAsinC，∴cosBsinC＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC＝0，∵B∈(0，π)，sinB≠0，∴cosC＝0，又∵C∈(0，π)，∴C＝π2，即△ABC为直角三角形．反思与感悟一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练1在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形答案B解析由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，代入得12＝a2＋c2－ac2ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC是等边三角形．题型二正弦、余弦定理的综合应用例2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB.(1)证明根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)．则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入cosAa＋cosBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，变形可得：sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sinA＝1－cos2A＝45.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB，故tanB＝sinBcosB＝4.反思与感悟(1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用．跟踪训练2在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解(1)由bsinA＝3acosB及正弦定理，得sinB＝3cosB，即tanB＝3，因为B是三角形的内角，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及正弦定理得，c＝2a.由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accosπ3，即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝3，c＝23.题型三利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：a2－b2c2＝sin（A－B）sinC.证明在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，∴2(a2－b2)＝2accosB－2bccosA，即a2－b2＝accosB－bccosA，∴a2－b2c2＝acosB－bcosAc.由正弦定理得ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC，∴a2－b2c2＝sinAcosB－cosAsinBsinC＝sin（A－B）sinC，故等式成立．反思与感悟(1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3在△ABC中，若acos2C2＋ccos2A2＝3b2，求证：a＋c＝2b.解由题a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b，即a＋a·a2＋b2－c22ab＋c＋c·b2＋c2－a22bc＝3b，∴2ab＋a2＋b2－c2＋2bc＋b2＋c2－a2＝6b2，整理得ab＋bc＝2b2，同除b得a＋c＝2b，故等式成立．例4已知钝角三角形的三边BC＝a＝k，AC＝b＝k＋2，AB＝c＝k＋4，求k的取值范围．错解∵cba，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝k2－4k－122k（k＋2）0.∴k2－4k－120，解得－2k6，①∵k为三角形的一边长，∴k0，②由①②知0k6.错因分析忽略隐含条件k＋k＋2k＋4，即k2.正解∵cba，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝k2－4k－122k（k＋2）0，∴k2－4k－120，解得－2k6，①由两边之和大于第三边得k＋(k＋2)k＋4，∴k2，②由①②可知2k6.误区警示在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．跟踪训练4若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是()A．(1，5)B．(13，5)C．(5，13)D．(1，5)∪(13，5)答案D解析(1)若x3，则x对角的余弦值22＋32－x22×2×30且2＋3x，解得13x5.(2)若x3，则3对角的余弦值22＋x2－322×2×x0且x＋23，解得1x5.故x的取值范围是(1，5)∪(13，5)．1．在△ABC中，bcosA＝acosB，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形答案B解析由题b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋c2－b22ac，整理得a2＝b2，∴a＝b.2．在△ABC中，sin2A－sin2C－sin2B＝sinCsinB，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°答案C解析由正弦定理得a2－c2－b2＝bc，结合余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，又A∈(0，π)，∴A＝120°.3．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.35答案D解析由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cosA得72＝52＋AC2－2·5·AC·(－12)，∴AC＝3或－8(舍)．∴sinBsinC＝ACAB＝35.4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是()A．(8，10)B．(22，10)C．(22，10)D．(10，8)答案B解析只需让3和a所对的边均为锐角即可．故12＋32－a22·1·3012＋a2－322·1·a01＋3a1＋a3，解得22a10.5．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________．答案1解析由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍)．6．已知△ABC的三边长分别为2，3，4，则此三角形是________三角形．答案钝角解析4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－140，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形．1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．2．解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一