《信号分析与处理》备课教案(第三章)(2)

《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦83上次课的回顾：（1）频域分析与频谱的基本概念；（2）任意的周期信号，可以用傅立叶级数进行展开，并具有“三角形式”和“复指数形式”的两种形式；三角形式:复指数形式:ntjnneFtf)(（3）非周期信号，采用“傅立叶变换对”可进行傅立叶变换；傅立叶变换对dejFjFFtfdtetftfFjFtjtj)(21)()()()()(1周期信号的频谱是“离散谱”；非周期信号的频谱是“连续谱”（4）常用或典型非周期信号的傅立叶变换----“频谱函数”；《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦84上次课思考题：1.为什么要对信号进行变换域分析？为什么要进行傅立叶变换？2.幅频特性和相频特性代表的是什么含义？意义何在？《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦85法国科学家傅立叶简介•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”。主要贡献一•1822年首次发表“热的分析理论”中，提出“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”。主要贡献二•《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦863.3.傅里叶变换的性质----信号“时域波形”与“频域频谱”的关系通过学习我们已经知道，任一信号可以在时域中用时间函数)(tf表示，也可以在频域中用频谱函数)(jF表示。两者之间通过傅里叶正、反变换密切联系着，只要其中一个确定，即可唯一地确定另一个。在实际信号分析中，常常需要进一步研究信号在时域特性与频域特性之间某些方面的重要联系，如信号在时域中所具有的特性在频域中有何种反映，在频域中的某些运算在时域中对应于何种运算等等。这些性质的讨论，将有助于理解信号的时域与频域之间的对应关系和它们之间的转换规律，这对简化运算是很有帮助的。下面介绍傅立叶变换的基本性质（共有八个重要性质，强调灵活运用），并举例说明其应用。一、线性特性如果那么例1：设1)(1tf，)()(2ttf，求)(3)(2)(21tftftf的傅立叶变换)(jF解：因为1)(1tf)(2)(1jF；)()(2ttfjjF1)()(2《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦87所以，jjjFjFtftfFtfFjF3)(73)(3)(4)(3)(2)(3)(2)()(2121例2：设)()()(21tgtftf，试求其傅立叶变换)(jF。解：因为1)(1tf)(2)(1jF)(2tg)(2aS所以，)(2)(2)]([)()(21aStgFjFjF二、奇偶特性通常遇到的实际信号都是时间t的实函数，但它们的频谱函数一般是复函数，下面着重分析实函数)(tf与其频谱函数)(F的奇偶虚实关系。设)(tf为实函数，则)()(sin)(cos)()()(jXRdtttfjdtttfdtetfjFtj这里，dtttfXdtttfRsin)()(cos)()()()()()(XXRR即：实部)(R为的偶函数，虚部)(X为的奇函数。若)(tf为实偶函数：《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦88ttfsin)(则为t的奇函数0)(X则，0cos)(2cos)()()(dtttfdtttfRjF此时频谱函数)(F是的实偶函数。若)(tf为实奇函数：ttfcos)(则为t的奇函数0)(R此时ttfsin)(则为t的偶函数则，0sin)(2sin)()()(dtttfjdtttfjjXjF此时频谱函数)(F是的虚奇函数。例：设信号)(tf的波形如图所示，求其相应的傅立叶变换)(F解：由图中可见，)(tf为实奇函数，根据上述)(tf为实奇函数的性质，可以直接套用公式，即得：2cossin2sin2sin2sin)(2)(211020jdttjdtttjdtttfjjF三、对称特性或者说，)()(FtfF)(2)(ftFF特别是，若)(tf为偶函数，则)(2)(ftFF《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦89例:设)()(ttf(时域)1)]([)]([)(ttfF(频域)因此，由1)(tF(时域))(2)(2]1[)]([ftF注意)(t为偶函数，为清晰起见这里的傅立叶变换符号我们用符号来进行表示。具体对应关系如图所示。例2:试求抽样函数tttSasin)(的频谱函数解：利用傅立叶变换的定义直接进行求解很不容易，但利用傅立叶变换的“对称特性”进行求解则很方便。考虑宽度为，幅度为1的矩形脉冲函数)(tg，则有：)2()]([aStg，注意这是为自变量的频域函数。取2，则上式变为：)(2)]([2aStg根据傅氏变换的线形性质，上式两边同乘以21，可得：)(221)]([212aStg)()(212aStg为了清晰起见，这里我们描述的详细一些，设)(21)(2tgtf则，)()(21)]([)(2aStgtfF（在频域中）将用t替换，得到时域信号)()(tStFa《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦90根据傅氏变换的“对称特性”，可得：)()(212)(2)]([)]([22ggftSTFa所以，101)(sin)]([2gttFtSFa具体对应关系如下图所示。例3:利用傅氏变换对称特性求222)(ttf的傅立叶变换。解：考虑到双边指数信号的傅氏变换与此函数形式相象，即：tetf)(222)(F则，222)(ttFeftF2)(2)]([注意：双边指数信号为偶函数技巧：利用“对称特性”进行傅立叶变换，就是由时域信号观察其形式与哪个频谱函数的形式基本相象，然后以这两个信号进行对称变换，实现求解。《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦91四、尺度变换特性如果那么特性如下：（1）1a表明将信号)(tf在时间轴上压缩为原来的a1倍，而其频谱函数)(F在频率轴上将扩展为原来的a倍，且其幅度将减小为原来的a1。即在时域信号波形的压缩意味着在频域信号频带的扩展。（2）10a表明将信号)(tf在时间轴上扩展为原来的a1倍，而其频谱函数)(F在频率轴上将压缩为原来的a倍，且其幅度将增大为原来的a1。即在时域信号波形的扩展意味着在频域信号频带的压缩。（3）0a)(atf包含了信号的“扩展/压缩”与“反褶”两种变换。如对于1a的情况，表明信号在时域的反褶，也对应着其频谱函数在频域的反褶，即：)()]([FtfF《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦92以矩形脉冲信号的尺度变换为例，变换图形如下图所示。感性体验：可以通过以不同于录音时的速度播放录音来体验这一特性的实际效应。（1）如果用较高的速度播放，即相当于1a，则压缩了时域信号，对应于频域中则拓展了频域带宽，因而可以感觉到实际音调的升高。（2）如果用较低的速度播放，即相当于10a，则拓展了时域信号，对应于频域中则压缩了频域带宽，因而可以感觉到实际音调的降低。例1：)()(Ftf)2(21)2(Ftf《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦93五、时移特性如果)()(jFtf那么)()(00jFettftj特性表明：若信号在时域内沿时间轴移动0t，相当于其在频域内乘以因子0tje，即幅度谱不变，相位谱变换0t。例题：设)()()(21tftftf，试求函数)(tf的傅立叶变换)(jF。解：因为，由图中可见：)5()(61tgtf，)5()(22tgtf而，)2()(aStg所以，根据傅氏变换的时移特性，可得：)5()(61tgtf51)3(6)(jaeSF)5()(22tgtf52)(2)(jaeSF所以，521)(2)3(6)()()(jaaeSSjFjFjF《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦94实际)(tf就是A倍的)(tg信号，即)()(tAgtf，具体图形如右图所示。以上讨论了傅立叶变换的“尺度变换特性”和“时移特性”，如果时域信号)(tf同时进行“时移”和“尺度变换”，则有下式成立：)(1)(aFeabatfFabj例：已知)()]([FtfF，试求信号)63(tf的频谱函数。解：对照上式，可知：6a，3b所以，2)6(61)]63([jeFtfF六、频移特性（亦称“调制特性”）如果)()(jFtf那么)()(00jFetftj《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦95其中，0为常数。该特性表明：信号频谱沿轴向左、右平移0，就相当于信号在时域分别乘以因子tje0和tje0。例1：试求t0sin和t0cos的傅立叶变换。解：设1)(tf，则有)(2]1[)]([)(FtfFF由欧拉公式：)(21cos)(21sin000000tjtjtjtjeeteejt，所以)()()()(221))((21)(21][sin000000000jjeetfFjeejFtFtjtjtjtj同理可得：)()(][cos000tF上述t0sin和t0cos的频谱图如下图所示。《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦96例2：试求ttf0cos)(和ttf0sin)(的傅立叶变换。解：设信号)(tf的频谱函数为)(F，则)(21)(21)(21)(21)(21)(]cos)([0000000FFetfFetfFeetfFttfFtjtjtjtj式（1）同理可得：)(2)(2]sin)([000FjFjttfF可见：时域信号)(tf乘以余弦信号t0cos或正弦信号t0sin之后，原频谱)(F被一分为二，并各向左、右频移0，在频域中的频移过程中幅频特性形状始终保持不变。《信号分析与处理》教案第三章：傅里叶变换上海大学机自学院自动化系朱晓锦97频移特性(或调制特性)广泛应用于通讯技术中，将原信号)(tf乘以较高频率的正弦/余弦信号进行调制，在时域中的表现就是由)(tf改变了正弦/余弦信号的幅度，在频域中则使)(tf的频谱产生平移(移动到高频端)，这样的信号再发射出去就可以传播到很远的空间，这也就是发射调幅广播的原理。例3：求矩形调幅信号ttgtf0cos)()(的傅立叶变换。解：设矩形脉冲)(tg的频谱函数为)(G，则)2()()(aStgFG由式（1）可得：2)(22)(2co