第一章行列式

1第一章行列式一、教学目的：掌握行列式的概念；熟练掌握行列式的性质及计算方法；利用克莱姆法则解线性方程组。二、学时分配：三、重点、难点：熟练运用行列式的性质，掌握行列式计算的方法四、作业：§1n阶行列式定义：一阶行列式就是元素自身，1111||aa，当n1时规定n阶行列式为：njijijnnnnnnAaaaaaaaaaa1212222111211j=1,2,…，n;或niijijnnnnnnAaaaaaaaaaa1212222111211j=1,2,…，n;其中ijjiijMA)1(称为元素ija的代数余子式；ijM是从n阶行列式中划去ija的所在的行和列得到的n-1阶行列式，称为元素ija的余子式。按此定义计算行列式的方法通常称为拉普拉斯（laplace）展开法，可以简述为：n阶行列式等于任一行（列）元素与其代数余子式乘积之和。例1计算对角形行列式2naaa21和naaa21其中未写出的数都是零。解：依行列式的定义，按第一行依次展开，;)1(213211121nnnaaaaaaaaaannnaaaaaaa321121)1(nnnaaa213)1()1(nnnaaa212/)3()1(nnnaaa212/)1()1(类似地，三角行列式有相同的结果nnnnnnaaaaaaaaa22112122211111,212)1(1,121,21)1(nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa3例2计算2n阶行列式abababbababaDn2解：按第1行展开，得0000)1(0000212bababbababaababbabaaDnn)1(222)1(22)1(22)(nnnDbaDbDa以此作为递推公式，得nnnnbaDbaDbaD)()()(222122)2(22222例3证明nnnnmmmmnnnnmnnmmmmmbbbbaaaabbcabbccaaaa111111111111111111110000证：令nnnnmmmmbbbbDaaaaD1111211111把D1中元素ija的余子式记作ijM，对D1的阶数m用数学归纳法。4当m=1时，左端依第一行展开，得nnnnnnnnnbbbbabbcbbca11111111111111100假设要证式当m=k-1时已经成立，现在证m=k的情形，按第一行展开，有nnnnknnkkkkkkKnnnnknnkkkkknnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaabbccbbccaaaaabbccbbccaaaaD111111111111122111121111122222111111111111110000)1(00000000依据归纳法假设上式右端变为2111121111111)1()1(DMaDMaDkkk211111111111])1()1([DMaMakkknnnnkkkkbbbbaaaaDD1111111121于是证明了对m=k情形仍然成立。由数学归纳法，结论成立，证毕。定理：由定义按不同行、列展开计算n阶行列式所得的结果是唯一确定的。证明略。5§2行列式的性质设行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111D叫做行列式D的转置行列式。性质1：行列式与它的转置行列式相等。证：使用数用归纳法，对于二阶行列式性质1显然成立，假设对于n-1阶行列式性质1成立，把n阶行列式Ｄ按第一行展开，依据归纳法假设可得njjjjnjjjjDMaMaD11111111)1()1(右端恰为D按第一列的展开式。性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。证：先证明邻行互换时行列式变号，设D１是由n阶行列式Ｄ的第i行与第i＋１行互换得到的行列式。行行1,1,,11,1,11,11iiaaaaaaDniiniinii把D１按第i+1行展开njijijjnjijijjiDMaMaD11111)1()1(设D２是由n阶行列式Ｄ的第i行与第j行互换得到的行列式，不妨设ij，于是D２可看成D的第i行依次经过j-i个邻行互换后到第j行位置，而原第j行又依次经过j-i-1邻行互换后到第i行位置，因此DDDijij)1()(2)1(推论：如果行列式有两行（列）完全相同，那么此行列式为零。性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数K，等于用数6K乘此行列式。推论：行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和。nnnininiinaaaaaaaaD111111那么D等于下列两个行列式之和nnnininnnnininaaaaaaaaaaaaD1111111111证：只须把D按第i行展开即可得证性质6：把行列式的某一行（列）各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变，即ji时nnnininnnnjninjinaaaaaaaakaakaaaa11111111111性质7：行列式任一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即)(02211jiAaAaAajninjiji或)(02211jiAaAaAanjnijiji证明：不妨设ij，考虑辅助行列式7行第行第jiaaaaaaaaaaaaDnnnniniiiniin212121112111D1是用D中第i行替换第j行得到的行列式，因D1的第i行与第j行相同，故D1=0，把D1按第j行展开，有jninjijiAaAaAaD22111所以：jiAAAaAajninjiji,02211如引用符号（kronecker）;,0;,1jijiij综合行列式的定义和性质7，有关代数余子式的重要性质可写成统一的形式。jijiDDAaijnkkjki,0,1或jijiDDAaijnkjkik,0,1例1计算四阶行列式3351110243152113D解：D的第3行已经有一个零，把第4列的2倍加到第1列，又把第3列加到第4列，然后按照第3行展开，得84055260551113117)1(0355010013113111733D例2：计算3111131111311113D解：4826200102010021000163111131111311111631161316113611163D例3：计算111222cbcacbcbabacaba解：111111111222222222222222cbacbacbaccbacbbacbaaabccbcacbcbabacaba11111)1(11111222222222222222222222222cbcbcbcbacbcbacbcbacbcba11000101)1(22222222cbacbcba9例4：计算yyxxD1111111111111111解：由性质5：yyxxyyxD1110111011101111111111111111111yyxxyyx1111111110000000001111yyxyyxxy111111111111122222222yxyxxyxy例5：证明范德蒙（A,T.Vandermonde）行列式111312112232221321)(1111jinjinnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxD证：用数学归纳法，因为121221)(11jijixxxxxx所以当n=2时命题成立，现在假设对n-1阶范德蒙行列式命题成立，证明对n阶范德蒙行列式命题也成立，为此设法把Dn化为n-1阶行列式，首先从第n行开始依次减去前一行的x1倍，有10)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn按节1列展开，再把每列的公因子提到外面223223211312111)())((nnnnnnnxxxxxxxxxxxxD上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，按归纳法假设，它应该等于所有jixx的乘积，其中n≥ij≥2，因此2111312)()()())((jinjinjijinnxxxxxxxxxxD证毕。§3克莱姆法则称nnnnnnaaaaaaaaa212222111211为含有n个未知数、n个方程的线性方程组。nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）的系数行列式如果（1）有解，即有一组数x1,x2.…,xn满足（1），由行列式的性质有11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaxaxaxaaaxaxaxaaaxaxaxaxaaaaaaaaaDx2221122222221211121212111121222211121111222221121Daabaabaabnnnnnn一般有jjDDxj=1，2，…，n这里Dj是D中第j列njjjaaa,,,21换成（1）的常数列b1,b2,…,bn得到的行列式，当D≠0时，有DDxDDxnn,,11(2)证明了：线性方程组（1）当D≠0时，如果有解，那么解必唯一，现在来验证（2）确是线性方程组（1）的解，即要证明：ininiibDDaDDaDDa2211i=1,2,…，n即DbDaDaDaininii2211i=1,2,…，n引进两行相同的n+1阶行列式（辅助）nnnnniniiaabaabaab111111，i=1,2,…，n按第1行展开，因为第1行第j+1列元素ija的代数余子式是nnjnjnnnnjjjaaaabaaaab1,1,111,11,111111)1(又因为这n+1阶行列式是零，所以有011niniiDaDaDb，i=1,2,…，n这说明（2）确是线性方程组（1）的解。12克莱姆（G.Cramer）法则：n个未知数n个方程的线性方程组（1），如果它的系数行列式D≠0，那么它有唯一解。DDxDDxnn,,11式中Dj是把D的第j列元素njjjaaa,,,21分别换成常数列b1,b2,…，bn得到的行列式。特点地，当（1）右端各常数项都是零时，得到的齐次线性方程组。00111111nnnnnnxaxaxaxa（3）显然021nxxx是它的解，由克莱姆法则得到。推论：若n个未知数n个方程的齐次线性方程组（3）的系数行列式D≠0，那么它只有零