函数的奇偶性和周期性(高考复习)

第4课时函数的奇偶性和周期性1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．原点3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．原点y轴0一致相反4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为函数，函数f(x)＝ax－a－x为函数；(2)函数f(x)＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x＋1(a0且a≠1)为函数；(3)函数f(x)＝loga1－x1＋x为函数；(4)函数f(x)＝loga(x＋x2＋1)为函数．偶奇奇奇奇5．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．6．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．f(x＋T)＝f(x)x＝a1．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_______．①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1.答案②③2．(2012·广东)下列函数为偶函数的是()A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝lnx2＋1答案D解析选项中的四个函数的定义域都是R.选项A，y＝sinx为奇函数．选项B，幂函数y＝x3也为奇函数．选项C，指数函数y＝ex为非奇非偶函数．选项D，根据函数奇偶性的定义可以判断为偶函数．令f(x)＝lnx2＋1，得到f(－x)＝ln－x2＋1＝lnx2＋1＝f(x)，所以选D.3．(2012·重庆)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.答案4解析f(x)＝x2＋(a－4)x－4a.因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝x2＋(4－a)x－4a＝x2＋(a－4)x－4a，a－4＝4－a，a＝4.4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的是()A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))答案B解析∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图像上．5．(2013·衡水调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________.答案132解析由已知f(x＋2)＝13fx，∴f(x＋4)＝13fx＋2＝f(x)．∴f(x)周期为4.∴f(99)＝f(4×25－1)＝f(－1)＝13f1＝132.例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；(3)f(x)＝1ax－1＋12(a0，a≠1)．【思路】判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再严格按照奇偶性的定义进行推理判断．【解析】(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(2)∵f(x)＝(x－1)1＋x1－x，已知f(x)的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称．又f(－x)＝(－x－1)1－x1＋x＝－(x＋1)1－x1＋x＝－1＋x1－x＝－(1－x)1＋x1－x＝(x－1)1＋x1－x＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－(1ax－1＋12)＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．【答案】(1)非奇非偶(2)偶(3)奇探究1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)思考题1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ln2－x2＋x；(2)g(x)＝x2＋|x－a|；(3)f(x)＝x2－2xx≥0，x2＋2xx＜0.【解析】(1)f(x)的定义域为(－2,2)，f(－x)＝ln2＋x2－x＝－ln2－x2＋x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(2)g(x)的定义域为R，当a＝0时，g(x)＝x2＋|x|.g(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝g(x)，此时g(x)为偶函数．当a≠0时，g(a)＝a2，g(－a)＝a2＋2|a|，显然g(a)≠g(－a)，g(a)≠－g(－a)，∴此时g(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)方法一f(x)的定义域为R，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)．当x＝0时，f(0)＝0＝f(－0)．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝f(x)．∴对于x∈R总有f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．方法二当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|.当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|.∴f(x)＝x2－2|x|.∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)．∴f(x)为偶函数．【答案】(1)奇(2)a＝0时，偶；a≠0时，非奇非偶(3)偶例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为_________________________________．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1]时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为__________．(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，有f(－0)＝－f(0),∴f(0)＝0.当x＜0时，－x＞0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.∴f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x＜0.(2)∵f(x)为奇函数，且在[0,1]上为增函数，∴f(x)在[－1,0]上也是增函数．∴f(x)在(－1,1)上为增函数．f(x)＋f(x－12)＜0⇔f(x)＜－f(x－12)＝f(12－x)⇔－1＜x＜1，－1＜12－x＜1，x＜12－x⇔－12＜x＜14.∴不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为{x|－12＜x＜14}．(3)∵f(x＋1)为偶函数，∴函数g(x)＝f(x＋1)的图像关于直线x＝0对称．又函数f(x)的图像是由函数g(x)＝f(x＋1)的图像向右平移一个单位而得，∴函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．【答案】(1)f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x＜0(2){x|－12＜x＜14}(3)x＝1探究2奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．(2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．思考题2(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)f(a)的实数a的取值范围是________．【解析】若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)f(a)，得aπ，∴0≤a≤π.若a0，∵f(π)＝f(－π),则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于f(－π)f(a)，得到a－π.即－πa0.由上述两种情况知a∈(－π，π)．【答案】(－π，π)(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．【解析】∵f(x－2)为奇函数，∴f(x－2)的图像的对称中心为(0,0)．又∵f(x)的图像可由函数f(x－2)的图像向左平移两个单位而得，∴f(x)的图像的对称中心为(－2,0)．【答案】(－2,0)例3设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．【分析】用周期函数的定义证明．【解析】(1)由f2－x＝f2＋x，f7－x＝f7＋x⇒fx＝f4－x，fx＝f14－x⇒f(4－x)＝f(14－x)⇒f(x)＝f(x＋10)．∴f(x)为周期函数，T＝10.(2)∵f(3)＝f(1)＝0,f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解．从而可知函数y＝f(x)在[0,2005]上有402个解，在[－2005,0]上有400个解，所以函数y＝f(x)在[－2005,2005]上有802个解．探究3(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义．(2)若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数图像为轴对称图形．思考题3(1)f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(x)图像关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)．∴f(x＋4)＝f[2－(x＋4)]＝f[－(x＋2)]＝－f(x＋2)＝－f[2－(2＋x)]＝－f(－x)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴T＝4.(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－1fx＋1，试判断函数f(x)的周期性．【解析】∵f(x)＝－1fx＋1，∴f(x＋1)＝－1fx.∴f(x＋2)＝－1fx＋1＝－1－1fx＝f(x)．∴T＝2.【答案】T＝2例4已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．【解析】方法一∵f(－1－x)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2＋x)，∴f(x)为周期函数，T＝2.∵f(x)为偶函数，∴x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]．f(x)＝f(－x)＝x＋1.∴x∈[5,6]时，x－6∈[－1,0]．f(x)＝f(x－6)＝(x－6)＋1＝x－5.x∈[6,7]时，x－6∈[0,1]．f(x)＝f(x－6)＝－(x－6)＋1＝－x＋7.∴x∈[5,7]时，f(