53_留数在定积分计算中的应用

1§5.3留数在定积分计算中的应用20.一般性陈述在高等数学以及实际问题中，常常需要计算一些定积分或广义积分，而这些积分中被积函数的原函数，往往不能用初等函数表示出来；有的即使可以求出原函数，但计算也往往比较复杂。利用留数定理，要计算某些类型的定积分或广义积分，只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数！！！（1）被积函数与某一个解析函数相关联,（2）积分线可化成沿着某个闭路的积分。关键：如何把计算积分的问题转化成计算留数的问题。3利用留数定理计算定积分或广义积分没有普遍适用的方法，我们只考虑几种特殊类型的积分：)()0()()3()()()2()()sin,(cos)1(20的积分有理函数乘以三角函数的积分形如有理函数积分的积分形如三角有理函数积分的积分形如adxexRdxxRdRiax1.几种特殊类型的积分4)()sin,(cos)1(20三角有理函数积分的积分形如dR（1）被积函数与某一个解析函数相关联.（2）积分线可化成沿着某个闭路的积分..21)(21cos,21)(21sin1,20,22zzeezizeeidzizddiedzeziiiiii则令.1||20:正向绕行一周恰好沿时，当zznkkzzzfsidzizzizzzRdR11||2220]),([Re2121,21)sin,(cos于是，有要求：1.圆周无奇点.2.圆内只有有限个孤立奇点.5例1的值计算202)10(cos212cospdpp解：).(21)(212cos),(21)(21cos1,20,22221zzeezzeedzizddiedzeziiiiii则令dzzfdzpzpzizzdzizpzzpzzIzzz1||1||241||2122)())(1(211)(21211)(21因此而为一级极点为二级极点其中内在且只有被积函数有三个奇点.,0,1||,0,/1,,0pzzzpzppz6.21))(1(21lim]0),([Re222420ipppzpzizzzdzdzfsz.)1(21))(1(21)(lim]),([Re224240pipppzpzizzpzpzfsz)1(2121222422pippippiI于是7)()()2(有理函数积分的积分形如dxxR（1）被积函数与某一个解析函数相关联.（2）积分线可化成沿着某个闭路的积分..)(.2,)()(1111在实轴上没有奇点且设替换用zRnmbzbzazazzRxRmmmnnnxz(1)(2)R-RRC1z2zKz.)(],,[内都含于上半平面内所有的奇点在使得闭路成了一个取积分路线如图，则构CzRRRCCR要求！！~~~~~~~~8KkkCRRzzfsidzzRdxxRR1]),([Re2)()(于是，有总可使充分大时注意：当因为,||.2,|1||1|||1|)(|1111znmzbzbzazazzRmmnnnm.10/1|||,|1111mmnnzbzbzaza有充分大时故当,||z.||210/1110/11||1.2,||1||1||1|)(|21111zznmzbzbzazazzRnmmmnnnm09.022||2|)(||)(|,022RRRdszdszRdzzRRRRRCCC有时当因此，KkkCRRRzzfsidzzRdxxRdxxRR1]),([Re2)()(lim)(于是，有R-RRC1z2zKz10例2的值计算)0,0())((22222badxbxaxx解：.,,))(()(22222函数满足上述条件易见令bzazzzR于是且都为一级极点点为在上半平面内的所有奇函数.,,)(biaizzR)(2))()(()(lim]),([Re222222baaiabzaizaizzaizaizRsaiz.)(2))()(()(lim]),([Re22222abibbizbizazzbizbizRsaiz21]),([Re2)(kkzzfsidxxR于是，有)()0()()3(的积分有理函数乘以指数函数的积分形如adxexRiax（1）被积函数与某一个解析函数相关联..)(.1,)()(1111在实轴上没有奇点且设替换用zRnmbzbzazazzRxRmmmnnnxz（2）积分线可化成沿着某个闭路的积分.R-RRC1z2zKz.)(],,[内点都含于在上半平面内所有的奇使得闭路成了一个取积分路线如图，则构CezRRRCCiazR(2)(1)12KkkiazCiazRRiaxzezRsidzezRdxexRR1],)([Re2)()(故，我们得到0Jordan引理3.1见下页KkkiazCiazRRiaxzezRsidzezRdxexRR1],)([Re2)()(于是，有RRRRaxdxxRaxdxxRsin)(cos)(,，式的积分：本方法可以计算下列形从上面可以看出13Jordan引理3.1有在闭区域内时如果当：且圆弧上连续区域）在闭区域（类似于扇形设函数,).(||,)0,(0||,arg:)(0210021zRRzCRzRzzgR,0)(lim0Imzgzz.0)(lim,0RCiazRdzezga有则对任何RRCzRRCz14sinc函数介绍则函数在整个实轴连续用不严格的形式就写作所以定义但是因为处是无定义的严格讲函数在,10sin,1)0sinc(1sinlim,00xxxxxxx函数定义为sincxxxsin)sinc(15sinc(x)x16Jordan引理3.1的证明：于是有时当使得存在对任给的.|)(|,,0,00)(lim110ImzgRRRzgzz21Re)(Re)(dRieegdzezgiiaiCiaziR2121sin)sin(cos|||)(Re|deRdegRaRiiaRi0sindeRaR2sin20sindeRdeRaRaR20sin2deRaRdd,令1720sin2deRaR2022deRaR注意:.2sin,22sinsin1sin,sin0即且是单调递减]1[aRea.a.0)(limRCiazRdzezg从而有Jordan不等式时当2018例3的值计算022)0(sinadxaxxx解：.,,)(22函数满足上述条件易见令azzzR于是且都为一级极点点为在上半平面内的所有奇函数.,)(aizzR2))(()(lim],)([ReaizaizizeaizaizzeaizaiezRs].,)([Re2)(aiezRsidxexRizix于是，有.)()(22izizeazzezRzf其中2.综合举例例4的值计算0sindxxx解：:,1)(分则我们考虑如下积复积令zzR于是点在实轴上有一个孤立奇函数注意,0)(:zzRdxxxdxxxxxsin21sin,sin0是偶函数，所以因为（1）被积函数与某一个解析函数相关联.dzezRiz)(（2）积分线可化成沿着某个闭路的积分.R-RRCrC-rr挖洞!有积分定理由,Cauchy0dzzedxxedzzedxxeRrCizixrRCizixRr变换xx:令200dzzedxxedzzedxxeRrCizixRrCizixRr0dzzedzzedxxeeRrCizRrCizixix所以0sin2dzzedzzedxxxiRrCizRrCiz记为I1记为I2有内另一方面，在引理知由,||0.0limJordanzdzzeRCizRR-RRCrC-rr!)(!2)(112nizizizzzeniz)(1!!211zznzizizzenniz.)0(,0z(z),i且解析在其中21rrrCCCizdzzdzzdzze)(1,有对上式两边积分.11)1(0idrieredzziirezCir令022|)(||)(|,)2(0rCCCrdsdszdzzrrr有对上式两边积分00sin2idzzedzzedxxxiRrCizRrCiz于是2sin0dxxxR-RRCrC-rr0r当R当22例5.221cossin0022的值计算dxxdxx解：.202dxex已知（1）被积函数与某一个解析函数相关联.).sincos(222zizeiz我们考虑解析函数RRCOBAD（2）积分线可化成沿着某个闭路的积分..BOCOACR成了一个闭路取积分路线如图，则构积分定理有由Cauchy002222BOizCizOAixCizdzedzedxedzeR有令40,irez004400422222RieirieiRRixdreedRieedxeii4:irezBOiRzCRe:2304400422222RieirieiRRixdreedRieedxeiiRriieiRdreedRieei0440222022dxex已知40)2sin2(cos40222deeRidRieeiiiRieiRi402sin2cos22deeRiiRiR40402sin2sin2cos402sin2cos22222deRdeRdeeRiRRiRiRiR,2sinJordan不等式：.,0)1(422404ReRdeRRR当2)2222(,04022idreedxeriix于是.sincos222xixeix注意：]2,0[24例5的值计算0sindxxx解：积分定理有由成了一个闭路取积分路线如图，则构Cauchy.],[],[321CCCRrCrRR00321CizCizCizRrizCizrRizizdzzedzzedzzedzzedzzedzzedzzer).sincos(zizeiz考虑解析函数00)()(0)(idyiyRedxixeidyiyRedxxedzzedxxeiyRiRRixiiyRiRrixCizrRixr或者1C2C3CRRrrrC课后习题5.10，见P94i2500)()(0)(idyiyRedxixeid