抛物线的简单几何性质(2)

抛物线的简单几何性质(2)方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）复习回顾：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：1、根据几何图形判断的直接判断2、直线与圆锥曲线的公共点的个数Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程)解的个数形数判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离Fxy问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？二、讲授新课：例1、已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P（-2,1），斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结：说明：直线被曲线截得的弦︱AB︱＝1＋k2︱x1－x2︱例2、已知直线l：y＝－x＋1和抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线的交点为A、B，求AB的长.AB例3、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.说明：中点弦问题的解决方法：①联立直线方程与曲线方程求解②点差法例4、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离..FxOy00(.)Pxy解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点，02064xy则|9164634|00yxd5463400yx代入得：将64200yx546316020yyd)(,804616480020Ryyy2,24min0dy时当另解：与抛物线相切设直线034myx)24,9(P此时03160346422myymyxxy36:0m得由例5、已知抛物线y2=2Px,AB是抛物线过焦点的弦，O为坐标原点，过A、O的直线交抛物线的准线于点D，（1）求证直线BD平行于抛物线的对称轴。（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求证x1x2,,y1y2是定值当堂检测1、若直线与抛物线仅有一个公共点，则k值为（）2、抛物线y=x2上，到直线的距离最短的点的坐标是（）3.抛物线y2=2x中被点A（1,1）平分的弦所在的直线方程是（）4、已知抛物线的一条过焦点的弦，被焦点分为长度为m,n的两部分，则=+1ykx2=yx1-3yxxy42nm11小结1、直线与抛物线的位置关系及判别方法2、中点弦问题的求解方法1、求过定点（0，2），且与抛物线y2＝4x相切的直线方程.2、顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y－4＝0所得弦长为35，求抛物线方程.说明：（1）联立方程组，结合判别式求解（2）注意斜率不存在的情形说明：（1）联立方程组，结合韦达定理求解（2）直线被曲线截得的弦︱AB︱＝1＋k2︱x1－x2︱练习：例5已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程..FxOyQABM解：1122(,),(),(,)AxyBxyABMxy设中点22212122xyxy由)(221212121xxyyxxyy相减得：1ABky12ABykx又112yyx220yyx即212(,)(2,0)20xxxyyyx当=2时，为满足02:2xyyM轨迹方程为中点2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.FABM解：),(),(),,(002211yxMAByxByxA中点设bkxylAB:设2xybkxy02bkxx241||22bkkAB由弦长bxxkyyy)2(221210bk2241122kkb220114kky41114122kk43411)1(时，取等号当k43min0y41:xylAB此时xoy解法二：),(),(),,(002211yxMAByxByxA中点设xoyFABMCND,2BCADMN,41200yypMNBFBCAFAD,)41(20yBFAF2,ABBFAFABF中)41(20yBCAD2|)||(|minBFAF43min0y即2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.(2,3)5Fy1、求焦点为，准线方程为的抛物线方程..FxOyP是抛物线上任意一点解：设),(yxP则由抛物线的定义知：的距离的距离等于到直线到5yFP|5|)3()2(22yyx即)4(4)2(2yx化简得：24(1)(0,1)PyxPPy2、设是曲线上一动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是？.FxOyP的抛物线焦点到准线的距离为表示顶点在解：曲线2)0,1()1(42xy0,(2,0)xF所以抛物线的准线:焦点:||PFdAd||||||AFPFPA又|||)||(|,,minAFPFPAFPA共线时，当5||)|(|minAFdPA2(0)11,,?yaxaFPQPFQFpqpq3、过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段的长度分别是，则.FxOyPQ21xya抛物线:1(0,)4Fa焦点:14ya准线：11,yx22,yx焦点F(0,1/4a),准线y=-1/4a,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ:x=ky+k/4a由抛物线第二定义,p=PF=y1+1/4a,q=PF2=y2+1/4a联立y=ax^2,x=ky+k/4a,得16a^2k^2y^2+(8ak^2-16a)y+k^2=0∴y1+y2=(16a-8ak^2)/16a^2k^2=(2-k^2)/2ak^2,y1y2=k^2/16a^2k^2=1/16a^21/p+1/q=1/(y1+1/4a)+1/(y2+1/4a)=[(y1+y2)+1/2a]/[y1y2+(y1+y2)/4a+1/16a^2]=[(2-k^2)/2ak^2+1/2a]/[1/16a^2+(2-k^2)/2ak^2/4a+1/16a^2](同乘8a^2k^2)=[4a(2-k^2)+4ak^2]/[k^2+2-k^2]=8a/2=4a222(3)1yxxy4、抛物线和圆上最近两点间的距离为？.FxOyPCQAQP与圆上任意一点抛物线上任意一点分析：如图，||||PAPQ圆心最小值时，连线必经过||PQ)0,3(),,(CyxP设22)3(||yxPC)0(952xxx211||25minPCx时，当1211||minPQ22,,(1)(2)yxOAOBABABx5、过抛物线的顶点作互相垂直的二弦求中点的轨迹方程；证明与轴的交点为定值..FxOyBAM:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立22,2kxkyAAxyxky212联立22,2kxkyBB22ABABxxxyyykkkk11222)1(2kk22xy轨迹方程：22,,(1)(2)yxOAOBABABx5、过抛物线的顶点作互相垂直的二弦求中点的轨迹方程；证明与轴的交点为定值.bkxylyxByxAAB:).,(),.(22211）设（xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即kkxylAB2:)0,2(轴交点与x.FxOyBAM6、已知直线l：x=2p与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.2y证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OA⊥OBOAKOBKxyOy2=2pxABL:x=2pC(2p,0)变式1:若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.2yxyOy2=2pxABlP(2p,0)2:22lxmypypx设代如得22240ypmyp....................1122,,AxyBxy设、变式2：若直线l与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，且OA⊥OB，则__________.2y直线l过定点(2p,0)xyOy2=2pxABlP2:2lxmyaypx设代如得2220ypmypa1122,,AxyBxy设、22121212222yyyypaxxpp又、212xxa....................高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2=2px（p＞0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆C(C为圆心），试证明抛物线顶点在圆C上。xyOy2=2pxABlQ(2p,0)