高三第一轮复习讲义【15】-解三角形

17-070-2018届高三第一轮复习讲义【15】-解三角形一、知识梳理：1、三角形面积公式以△ABC的顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，过C作x轴的垂线CD，垂足为D，则(,0)Bc，(cos,sin)CbAbA，sinCDbA，∴11sin22ABCSABCDcbA，即：1sin2ABCSbcA；同理：11sinsin22ABCScaBabC；这就是说：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。2、正弦定理将111sinsinsin222bcAcaBabC中等号分开的式子都除以12abc得：sinsinsinABCabc，即有：sinsinsinabcABC。正弦定理中比值的几何意义：如图，设O是△ABC的外接圆的圆心，连CO并延长交圆于D，连BD，,DACD为直径90CBD，那么2sin2sinaRDRA。所以有：2sinaRA，即正弦定理为：2sinsinsinabcRABCOABCDABC.DO其中2R为△ABC外接圆的直径。3、余弦定理以△ABC的顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，过C作x轴的垂线CD，垂足为D，则(,0)Bc，(cos,sin)CbAbA，根据两点间距离公式：22||(cos)(sin0)aBCbAcbA，化简得：2222cosabcbcA。同理可得：2222cosbacacB，2222coscababC。也就是说：三角形的一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值乘积的两倍。这个结论称为余弦定理。余弦定理还可以表示为：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab。余弦定理可以看作为是直角三角形中勾股定理的推广：①若A是锐角，则222abc；②若A是钝角，则222abc正弦定理与余弦定理揭示了三角形的六个元素之间的关系。结合三角形内角和定理，我们就可以解决一些三角形中有关边和角的计算问题。4、由πABC引发的诱导公式(1)sinsin()ABC;coscos()ABC;tantan()ABC;(2)sincos22ABC;cossin22ABC.二、基础检测：1.在ABC△中,已知2a,3b,4c,则最大角的余弦值为__________.2.在ABC△中,已知3a,2b,3sin3B,则A____________.3.在ABC△中,已知1a,3b,30A,则ABC△的面积为______________.4.在ABC△中,若222()tan3acbBac,则B____________.5.在ABC△中,若sin3sinAC,π6B,2b,则ABC△的面积为______________.6.在ABC△中,若tantan1AB,则ABC△的形状为答[]A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法判断三、例题精讲：例1、在三角形ABC中，20,45,30aBA，求,bc和C。解：105C，由正弦定理20sin30sin45sin105bc，得202b，106102c。例2、在三角形ABC中，根据下列条件，求解此三角形：（1）56,10,60abA；（2）10,20,60abA；（3）7,8,105abA；（4）23,6,30abA。解：（1）由正弦定理sin10sin602sin256bABa，所以45B或135B（舍去），则180(6045)75C，所以6210sin45(31)sin32bCcB。所以45,75,5(31)BAa。（2）20sin60sinsin3110bBAa，所以此三角形不存在；（3）8sin1052(62)sinsin177bBAa，所以此三角形不存在；（4）6sin303sinsin223bBAa，所以60B或120B。①当60B时，90C，sin23sin9043sinsin30aCcA；②当120B时，30C，sin23sin3023sinsin30aCcA。综上知：60B，90C，43c或120B，30C，23c。说明：由上述几个问题可以看出：已知三角形的两边与其中一边的对角解三角形可能出现三种情况：（1）只有一解；（2）有两解；（3）无解。如何进行解的情况判断？在△ABC中，有sinsinABabABab。AB例3、△ABC中，45,32Ab，根据a的取值范围，讨论此三角形是否有解？可能有几解。解：sin32sin453sinbABaaa。（1）当31a，即03a时，sin1B，此时三角形无解；（2）当31a，即3a时，sin1B，90B，此时三角形有一解；（3）当31a，即3a时，因为45,32Ab：①若32a，则ab，所以AB，32sin2Ba，此时三角形有一解；②若332a，则ab，所以AB，32sin2Ba，此时三角形有两解。综上知：03a，三角形无解；3a或32a，三角形有一解；332a，三角形有两解。方法二：数形结合，作图：由图可以看出：03a，三角形无解；3a或32a，三角形有一解；332a，三角形有两解。例4、在△ABC中，若22tantanaBbA，试判断△ABC的形状。解：由已知及正弦定理：22sinsin(2sin)(2sin)coscosBARARBBA，因为在△ABC中，sin,sin0AB，所以sincossincossin2sin2AABBAB，A32bCaABCaBaCABabb由,AB是三角形的内角，所以22AB或22AB。即AB或2AB。所以△ABC是等腰三角形或是直角三角形。例5、在△ABC中，已知6,31,45abC，求c、A、B及△ABC的面积。解：2222222cos(6)(31)26(31)42cababC，所以2c。又222222(31)2(6)1cos222(31)2bcaAbc，所以60A，则75B。11233sin6(31)2222ABCSabC。例6、已知△ABC是钝角三角形，B为钝角，且25,ax1,bx4c，求x的取值范围。解：因为B为钝角，所以b是最大边，且cos0B，根据三角形任意两边之和大于第三边，有：222125014(25)41(25)4(1)cos02(25)4xxxxxxxBx解得：1043x。例7、在△ABC中，求证：22sin2sin22sinaBbAabC。证法一：利用正弦定理与余弦定理：2222sin2sin22sincos2sincosaBbAaBBbAA＝22222222222222bacbabcaabRacRbc＝22sin2cababCR。所以等式成立。证法二：由正弦定理：sinsinaBbA，则2222sin2sin22sincos2sincosaBbAaBBbAA＝2sincos2cossinabABabAB＝2(sincoscossin)abABAB2sin()2sinabABabC。所以等式成立。例8、在△ABC中，已知()()30abcabcbc，且sin2sincosABC，试判断△ABC的形状。解：等边三角形。例9、在△ABC中，2bac，且22acacbc，求A及sinbBc的大小。解：60A，sin3sin2bBAc。例10、在△ABC中，三边,,abc满足：222bcbca且132cb，求A的大小与tanB的值。解：由余弦定理：2221cos2bcaAbc，所以60A。则120CB。由正弦定理：sinsin(120)sinsincCBbBBsin120coscos120sin31cotsin22BBBB，所以311cot3222B，则cot2B，所以1tan2B。另一方面：考虑到132cb，将222bcbca化成：22()1()accbbb，可求得：152ab，由正弦定理，235sinsin2515bBAa，因为ab，所以AB，则B为锐角，则1tan2B。例11、在△ABC中，分别为内角的对边，且满足：2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC。（1）求的大小；（2）若，试判断△ABC的形状。abc、、ABC、、Asinsin1BC解：（1）由已知，根据正弦定理得：，即，由余弦定理得，故。（2）由（1）得。又，得，因为，故BC。所以△ABC是等腰的钝角三角形。例12、将一块圆心角为60，半径为20cm的扇形铁皮裁成一个矩形（如图），求裁得的矩形的最大面积。解：如图：连接OP，设POB，则20sinPN，320320cos,cot6020sinsin33ONOMQM，所以20320sin(20cossin)3S2003200340032003200sin2cos2sin(2)33363。因为(0,)3，所以当262，即6时，max20033S。答：当P为AB中点时，截得的矩形面积最大，最大面积为220033cm。例13、某船在海面A处测得灯塔C在北偏东30方向与A相距103海里，测得灯塔B在北偏西75方向与A相距156海里。船由A向正北航行到D处，测得灯塔B在南偏西60方向。求：（1）灯塔C与D之间的距离；（2）C在D的什么方向。解：如图：在△ABD中，180607545B，由正弦定理：15630sin60sin45ADAD。cbcbcba)2()2(22bccba222Abccbacos2222120,21cosAA.sinsinsinsinsin222CBCBA1sinsinCB21sinsinCB900,900CBOABMNPQACBD在△ADC中，由余弦定理得：22230(103)230103cos30CD300。所以103CD。由CDAC，所以30ADC。即：C与D相距103海里，且灯塔C在D南偏东30方向。四、难题突破：例1、如图,某公司要在A,B两地连线上的定点C处建造广告牌,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米.设点A,B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为和.(1)设计中CD是铅垂方向.若要求2,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12,18.45,求CD的长(结果精确到0.01米).(1)解:由题意有020,此时2tantan2,设CDh,则222tan160tan21tan6400hh,故22160tantan2800356400hhhh,解得80020228.28h,因此CD的长至多为28.28米.(2)解:由180123.43ADC,在ADB△中,由正弦定理,sinsinsinsinADABADABADBADB,在ADC△中,由余弦定理,2222cosCDACADACAD即22sin18.45sin18.4535115235115cos38.1226.93sin123.43sin123.43CD