四元数与欧拉角

四元数与欧拉角1Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成2n1.1*四元数(quaternions)定义一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转过特定角度可达到任何姿态转轴的方向可以表示成一个单位矢量:则描述该转动的四元数可以表示成:kjincoscoscosnq2sin2coskjicos2sincos2sincos2sin2cos四元数既反映了转动的方向又反映了转动的幅值.31.2四元数的组成四元数的表示：kjiqcos2sincos2sincos2sin2cos1P2P3PkPjPiPq321λ-----标量部分kPjPiP321----矢量部分包括一个实数单位1和三个虚数单位i,j,k另一种表示法:Pq,,P代表矢量部分4Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成52.1*加法和减法kPjPiPq321kjivM321加法和减法：MqkPjPiPv)()()()(332211或简写成：PvMq,62.2虚数单位的乘法规则kPjPiPq321ijki,j,k在乘法运算中的规则:1kkjjiiijkjijkikjkijik1222ijkkji对比Hamilton的公式72.3*四元数乘法或简单地表示成：PvPPvMq)()(kjivkPjPiPMq321321)(332211PPPviPPvP)(233211jPPvP)(311322kPPvP)(122133321123132231321vPPPPPPPPPPPP321123132231321PPPvvvv82.3四元数乘法自定义函数function[q1]=qmul(q,m)lm=q(1);p1=q(2);p2=q(3);p3=q(4);q1=[lm-p1-p2-p3p1lm-p3p2p2p3lm-p1p3-p2p1lm]*m;a=[1223]';b=[2423]';q=qmul(a,b)q=-0.77960.32820.49240.205292.3*四元数乘法表示符号)()(kjivkPjPiPMq321321※四元数乘法的符号MqMqMqqM※关于交换率和结合律qMMq)()(321321qqqqqq102.4*共扼和范数共扼四元数的定义------两个四元数的标量部分相同，向量部分相反kPjPiPq321kPjPiPq321*q和q*彼此互为四元数.可以证明：**)*(qhhq四元数的范数q---定义成23222122PPP*qqq1q,则q成为规范化的四元数若kjiqcossincossincossincos2222是规范化的112.5*四元数的逆和除法121qq若则q1和q2彼此互为逆,写为121qq112qq和因为2q*qq12q*qq21q*qq1q*1qq除法:Mhq1hMqMqh1hMq没有具体意义或qMhfunction[qi]=qinv(q)%inverseofquaternionqn=norm(q);q(2:4)=-q(2:4);qi=q/qn^2;12Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成133.1*矢量的旋转XYZnR'R如果矢量R相对固定坐标系旋转,并且该旋转可以用四元数q描述，新矢量记为R’，则R和R’之间的变换可以表示成下述四元数运算:1qRqR'含义:矢量R相对固定坐标系旋转，旋转的角度和轴向由q决定上述运算中,R被当成一个标量部分为零的四元数，即：kRjRiRRzyx0143.2*坐标系的旋转XYZ一个矢量V相对于坐标系OXYZ固定:VzkyjxiV从坐标系OXYZ转动了q,得到一个新坐标系OX’Y’Z’.n'X'Y'ZV分解在新坐标系OX’Y’Z’中''''''kzjyixV矢量V在两个坐标系之间的坐标变换:记：kzjyixVe''''zkyjxiVeqVqVee1'则分别称为V在两个坐标系中的映像.eV和'eV153.3四元数和方向余弦qVqVee1'----表示坐标系旋转,其中kzjyixVe''''zkyjxiVezyxCzyx'''q和C之间是什么关系?kPjPiPq321kPjPiPq3211假设则kzjyixVe'''')(kPjPiP321)(zkyjxi0)(kPjPiP321应用四元数乘法,得到163.3四元数和方向余弦)(kPjPiP321)0(zkyjxi)(kPjPiP321kzjyixVe''''C方向余弦矩阵zPPPyPPPxPPPx)(2)(2)('2313212322212zPPPyPPPxPPPy)(2)()(2'1322321222321zPPPyPPPxPPPz)()(2)(2'2221232132231zyxPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPzyx222123213223113223212223212313212322212)(2)(2)(2)(2)(2)(2'''173.4四元数转动变换的两种形式如果一个矢量V固定，坐标系旋转按照四元数q进行了旋转，得到了一个新坐标系，则该矢量分别在新旧坐标系中投影表达式间的关系借助映像方式可以表示为：qVqVee1'如果一个坐标系固定,一个矢量VE按照四元数q相对该坐标系进行了转动，得到一个新的矢量VE’，则新旧矢量之间的关系为：1qVqVEE'18Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成194.0*转动四元数的合成连续的多次转动可以等效成一次转动.XYZ'Z'X'YZXY假设四元数q1和q2分别代表第一次和第二次坐标系旋转.q1q2则合成后的转动四元数q可以表示成:q21qqq其中q1和q2的轴必须表示成映像形式.若q1和q2的轴都表示在原来坐标系中,则12qqq204.1四元数合成例子:非映像方式坐标系顺序旋转情况下四元数的合成坐标系OX’Y’Z’相对坐标系OXYZ多次旋转首先,绕Z轴转过角度ψ,瞬时转轴n和k轴重合,则kn1kq221sincos21第二次旋转:绕X’转过角度θ,旋转轴n表示为:4.1四元数合成:非映像方式'in2jisincos对应的四元数:2222nqsincos)sin(cos2sin2cosji22kq221sincos4.1四元数合成:映像的方式)sin(cossincosjiq222这里q1和q2的转动轴表示为非映像的形式,因此合成的四元数为:12qqqkji2222sincos)sin(cossincos转动次数越多，合成后四元数的表达式会愈发复杂234.2*四元数合成:映像的方式每次转动的瞬时转轴都以映像方式给出.对第一次转动,瞬时转轴n1的映像方式和非映像方式相同：knne11kq2sin2cos1因此244.2四元数合成:映像的方式第二次转动绕着OX’转过了θ转轴n2沿着OX’'in2n2在坐标系X’Y’Z’中的映像为：ine2因此q2的映像形式为2222enqsincosi22sincos254.2四元数合成:映像的方式第三次转动绕着OY’轴转过φ.转轴n3沿着OY’'jn3轴OY’是由原来坐标系的OY轴转动得到的，因此n3的映像形式为:jne3这样，四元数q3的映像形式为3322enqsincosj22sincos264.2四元数合成:映像的方式因为q1,q2和q3都表示成了映像的形式,所以合成的四元数q的计算公式为:321qqqqjik222222sincossincossincos由q可以进一步得到合成转动对应的方向余弦矩阵27Outline欧拉角的定义欧拉角性质应用285.0*静态的定义29对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。参阅右图。设定xyz-轴为参考系的参考轴。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义:α是x-轴与交点线的夹角，β是z-轴与Z-轴的夹角，γ是交点线与X-轴的夹角。很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。5.1.1*静态的定义30角值范围1.α,β值从0至2π弧度。2.β值从0至π弧度。对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：两组欧拉角的α，一个是0，一个是2π，而β与γ分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。两组欧拉角的γ，一个是0，一个是2π，而α与β分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的：5.1.2*静态的定义31单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，1.最里面的(最右的)矩阵代表绕着z轴的旋转。2.最外面的(最左的)矩阵代表绕着Z轴的旋转。3.在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。经过一番运算,别种顺序在经典力学里，时常用zxz顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为x顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有12种顺规。例如，y顺规，第二个转动轴是y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz顺规，是用在航空航天工程学；参阅Tait-Bryanangles。5.2*动态的定义32我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意，以下的描述,XYZ坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而xyz坐标轴是静止不动的实验室参考轴。A)绕着XYZ坐标轴旋转：最初，两个坐标系统xyz与XYZ的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着Z-轴旋转角值。然后，绕着X-轴旋转角值。最后，绕着Z-轴作角值的旋转。B)绕着xyz坐标轴旋转：最初，两个坐标系统xyz与XYZ的坐标轴都