2.3.1直线与平面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定与性质观察实例,发现新知旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象。观察实例,发现新知房屋的屋柱与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象。大桥的桥柱与水面垂直生活中有很多直线与平面垂直的实例实例引入直棱柱的侧棱与底面的位置关系一条直线与一个平面垂直的意义是什么？引入新课AαB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．直线垂直于平面内的任意一条直线．lP如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．l平面的垂线直线l的垂面垂足直线与平面垂直直线与平面的一条边垂直定义：1.如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线l和平面α互相垂直（）思考：BCl线线垂直线面垂直2.,()abab性质定理直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α中的任意一条直线lP直线与平面垂直除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）ABCABCDABCD当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．ABCDABCD探究：•3、归纳：•一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。lblalAbaba,,,,符号语言:（1）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；（2）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。lbaA一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．balA直线与平面垂直判定定理判定定理线线垂直线面垂直alblabAbalO4.直线和平面所成角1.斜线2.斜足3.斜线在平面内的射影和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做直线和平面所成的角PAB说明:1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90°2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0°直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]异面直线所成角的取值范围？例1已知ＡＰaＯ斜线垂线斜线在平面上的射影,,POaaAOaPA求证ACBADCBD11111分别指出对角线A1C与六个面所成的角.1找垂线得射影问题探究1．如果直线垂直于平面内的两条平行线，这条直线垂直于这个平面吗？提示：不一定垂直．两条相交直线就可确定唯一平面．若是平行直线，如图，直角三角尺的一直角边放在平面α内，另一直角边与α倾斜一个角度，则在α内，与直角边AC平行的直线会有无数条．也说明一条直线垂直于平面内无数直线，直线不一定垂直于平面．2．过一点垂直于某个平面的直线有几条？过一点垂直于某直线的平面有几个？提示：都是唯一一个．3．若直线l垂直于平面α，那么l与平面α内的直线有什么关系？提示：l垂直于平面内的所有直线．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.【思路点拨】解答本题从结论出发，要证BD1⊥平面ACB1，只需证明BD1垂直于平面ACB1内某两条相交直线即可．由于平面ACB1内的三条线段AC、B1C、AB1与BD1的相对位置相同，因此只须证明BD1垂直于其中的任意一条，其余的同理可证．例1【证明】连结BD，∴AC⊥BD.又∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC，又∵DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面D1DB，又∵BD1⊂平面D1DB，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥AB1，又∵AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面ACB1.例2在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:(1)直线A’B和平面ABCD所成的角(2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角BB’A’D’C’ACD练习:P74O如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，在棱D1C1上是否存在点E，使得DE⊥面BCE.例3【思路点拨】猜想D1C1的中点，寻求DE⊥面BCE的条件．【解】若取D1C1的中点E，∵BC⊥CD，BC⊥CC1，∴BC⊥面CDD1C1.又DE⊂面CDD1C1，∴DE⊥BC.在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝2a，则有CD2＝CE2＋DE2，∴∠DEC＝90°.∴DE⊥EC.又BC∩EC＝C，BC⊂平面BCE，EC⊂平面BCE，∴DE⊥平面BCE.AC1DCA1D1BF例３在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角AC1DCB1P变式：（１）求直线AC与平面A1B1CD所成的角（２）E，F分别是BC，CC1的中点，求EF与面ACC1A1所成的角.B1A1D1Q1B1EO练习1.两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗？2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗？三、实际应用，巩固深化例1：有一根旗杆AB高8米，它的顶端A挂有一条长10米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6米，那么旗杆就和地面升起垂直，为什么？DCBA课堂练习：已知三角形ABC，直线l⊥AB，l⊥AC，求证l⊥BC。例2：直线a、b和平面α有以下三种关系：（1）a//b，（2）a⊥α，（3）b⊥α，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？并判断其真假。如果是真命题，请予以证明；如果是假命题，请举一个反例。•归纳（直线与平面垂直的判定定理2）•两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。abα命题1：如图，已知a//b，a⊥α，求证：b⊥α。命题2：如图，已知直线a⊥α，b⊥α，那么a//b。abα归纳（直线与平面垂直的性质）：垂直于同一平面的两条直线平行。课堂练习•1、如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC。VABC“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。直线与平面垂直的判定方法:3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和平面垂直线面垂直⇒线线垂直六．课堂小结．