余弦定理习题及练习

第2课时余弦定理在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形解析因为AB2＋BC2－AC2＝52＋62－820，∴AC边所对角B为钝角，故选C.答案：C2．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4.则AC边上的高为()A.322B.323C.32D．33解析：由余弦定理cosA＝9＋16－132×3×4＝12，sinA＝32，AC边上的高＝AB·sinA＝3×32＝323.答案：B3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°，则a＝________.4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角C等于_120_______．解析∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ab.又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC.∴－2cosC＝1，∴cosC＝－，∴C＝120°.5．在△ABC中：(1)a＝1，b＝1，C＝120°，求c；(2)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角；(3)a∶b∶c＝1∶3∶2，求A、B、C.解：(1)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3，∴c＝3；(2)显然C角最大，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C＝120°；(3)由于a∶b∶c＝1∶3∶2，可设a＝x，b＝3x，c＝2x.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22·3x·2x＝32，∴A＝π6.同理cosB＝12，cosC＝0，∴B＝π3，C＝π2.∴A＝π6，B＝π3，C＝π2.[例1]在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A、B和边c的值．[分析]由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值．[解]cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43.∴c＝8－43＝6－22＝6－2.由正弦定理得asinA＝csinC，sinA＝asinCc＝asin15°c＝2×6－246－2＝12，∵ba，sinA＝12，∴A＝30°.∴B＝180°－A－C＝135°.迁移变式1在△ABC中，已知sinC＝35，sinC＋cosC0，且a＝2，b＝5.求边长c.解：∵sinC0且sinC＋cosC0，∴cosC0，则cosC＝－1－sin2C＝－45.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝4＋25－2×2×5×(－45)＝45，∴c＝35.[例2]在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正弦值．[分析]本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质，要求出最大内角的正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求出余弦值，再求正弦值．[解]设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中k0.易解得a＝72k，b＝52k，c＝32k，∴边a是△ABC中的最大边，则角A是最大内角．∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴sinA＝32.∴△ABC的最大内角的正弦值是32.[点评]本题中比例系数k的引入是解题的关键．迁移变式2在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.解：∵acb，∴A为最大角，由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°A180°，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝32，由正弦定理asinA＝csinC得sinC＝csinAa＝5×327＝5314，∴最大角A为120°，sinC＝5314.[例3]在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．[分析]由题目可获取以下主要信息：①边角之间的关系：b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC；②确定三角形的形状．解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状．则条件转化为4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC，又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosB·cosC，即cos(B＋C)＝0.又0°B＋C180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．方法2：将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC，即有b2＋c2－b2·(a2＋b2－c22ab)2－c2·(a2＋c2－b22ac)2＝2bc·a2＋c2－b22ac·a2＋b2－c22ab，即b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2＝4a44a2＝a2，即b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．[点评]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．迁移变式3在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．解：由于(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA，又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC且sinA＝2sinBcosC，∴sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，∴B＝C，又B＋C＝120°，∴B＝C＝60°.故△ABC为等边三角形．[例4]在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝，求b.[分析]利用正弦定理→求出a、c→利用余弦定理求b→检验得结果[解]由正弦定理得ca＝sinCsinA＝sin2AsinA＝2cosA，∴ca＝32.又a＋c＝10，∴a＝4，c＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋2012b＝34，∴b＝4或b＝5.当b＝4时，∵a＝4，∴A＝B.又C＝2A，且A＋B＋C＝π，∴A＝π4，与已知cosA＝34矛盾，不合题意，舍去．当b＝5时，满足题意．[点评](1)本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c，再利用余弦定理求出b的值，通过正、余弦定理的完美结合求得结果．(2)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择地运用，也可以综合地运用，要注意以下关系式的运用：迁移变式4在△ABC中，已知ABC，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a、c的长．解：由正弦定理，得asinA＝csinC.∵A＝2C，∴asin2C＝csinC，∴a＝2ccosC，又a＋c＝8，∴cosC＝8－c2c.①又由余弦定理及a＋c＝8，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋42－c28a＝8－c2＋42－c288－c＝10－2c8－c.②由①②知8－c2c＝10－2c8－c，整理得5c2－36c＋64＝0.∴c＝165或c＝4(舍)，∴a＝8－c＝245.故a＝245，c＝165.1．余弦定理的正确理解三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角．请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是惟一的．2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．