30圆锥曲线参数方程

一、椭圆的参数方程如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设∠XOA=φ一、知识构建如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB解：设∠XOA=φ,M(x,y),则A:(acosφ,asinφ),B:(bcosφ,bsinφ),由已知:即为点M的轨迹参数方程.sinbycosax)(为参数消去参数得:,bya12222x即为点M的轨迹普通方程.2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外,称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)cos,sin.xaXyb焦点在轴cos,sin.xbYya焦点在轴1.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb说明：知识归纳椭圆的标准方程:12222byax椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数xxyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为参数rrxθ的几何意义是:∠XOP=θPθ椭圆的参数方程:是半径OA的旋转角；是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.OAMxyNBφ【练习1】把下列普通方程化为参数方程.22149xy22116yx(1)(2)3cos5sinxy8cos10sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx巩固练习为参数）(为参数）(二、知识应用例1.在椭圆上求一点M，使M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离14922yx（见课本P28）例2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。22110064xy:10cos,8sinA解设20cos,16sin2016sincos160sin2ADABS,ABCD160所以矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX练习21、动点P(x,y)在曲线上变化，求2x+3y的最大值和最小值14922yx.,2626最小值最大值2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ29422yx思考：实数x、y满足，试求x-y的最大值与最小值，并指出何时取最大值与最小值19)2(16)1(22yx解：由已知可设为参数），则(sin32cos41yx)cos(53)sin33cos54(53)sin3cos4(3)sin32()cos41(yx,53sin,54cos其中当54cos)2cos(cos,,2,1)cos(kZkk时54sin)2sin(sink519)53(32,5215441yx当时，x-y的最大值为8同理，当x=-11/5,y=-1/5时，x-y的最小值为-2三、课堂总结1.椭圆的参数方程2.椭圆的参数方程应用四、布置作业：1.P341，22.家庭作业：名师二、双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'A'OBBy在中，(,)Mxy设|'|||tanBBOBtan.b'OAAx在中，|||'|cosOAOAcosbsec,bsec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数2a222xy消去参数后，得-=1,b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'Asec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3[,2)22o通常规定且，。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.4.4.3参数方程的应用(3)-----抛物线的参数方程引入:如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s思考：对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？xyoM(x,y)的参数方程不包括顶点这就是抛物线为参数，得到解出由定义可得数的的终边上，根据三角函在因为点设抛物线的普通方程为))(5()(tan2tan2{,)6(),5()6....(..............................tan)5.(..........222pypxyxxyMpxy的倒数。一点与原点连线的斜率的任意表示抛物线上除顶点外示抛物线。参数时，参数方程就表因此当的顶点点正好就是抛物线时，由参数方程表示的当为参数则有如果令ttttptyptxtt),()0,0(0)(22{),,0()0,(,tan12思考：参数t的几何意义是什么？抛物线的参数方程oyxHM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。思考：怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p0)的参数方程？.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y2121212121212121,1,,,)(22{1ttDttCttBttAMMttMMtptyptx、、、、所在直线的斜率是则弦所对应的参数分别是，两点上异于原点的不同为参数、若曲线()c练习2122212122222121121212112222)2,2(),2,2(,1ttptptptptkptptMptptMMMttMMMM的坐标分别为和，则可得点和别是两点对应的参数方程分解：由于的轨迹方程。，求点相交于点并于且上异于顶点的两动点，是抛物线是直角坐标原点，、如图例MMABABOMOBOAppxyBAO,)0(2,32xyoBAM)8.(..........1,0)2()2(,0,))(2),(2()2,2(),2,2(),,()0,)(2,2(),2,2(),(,,212122211221222221212121222121ttttptptOBOAOBOAttpttpABptptOBptptOAyxOMttttptptptptyxBAM所以即所以因为则且的坐标分别为解：根据条件，设点三点共线，且因为即所以即所以因为BMAyptxptMBptyptxAMxxyttyttxttpyttpxOBOMABOM,,)2,2(),2,2()9...(....................).........0(,0)(0)(2)(2,0,2221212121122122的轨迹方程这就是点即得到代入将化简，得所以Mxpxyxxpxyyxtptttyptyxptyptptx)0(0202)(),10()9(),8()10.....(..........02)()2)(2()2)(2(222121122221?,3最小？最小值是多少的面积在什么位置时，中，点在例探究：AOBBA.4,44)(222)1()1(212)2()2(12)2()2(3221222122221222212122222222221121221pAOBxBAttpttpttpttttpSAOBttpptptOBttpptptOAAOB的面积最小，最小值为轴对称时，关于，即当点当且仅当的面积为所以，＝可得由例课堂小结：1、抛物线的参数方程的形式2、抛物线参数的意义布置作业：1.P34-353,4，52.名师