【2】高考数学函数解析式、定义域与值域-的求解方法

BetterChange助你高考一臂之力1/24函数解析式、定义域与值域的求解方法一、函数解析式的求解方法函数解析式的七种求法1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf解：设baxxf)()0(a，则babxabbaxabxafxff2)()()]([342baba3212baba　或　　32)(12)(xxfxxf　　或　　2.配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。例2已知221)1(xxxxf)0(x，求()fx的解析式解：2)1()1(2xxxxf，21xx2)(2xxf)2(x3.换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3已知xxxf2)1(，求)1(xf解：令1xt，则1t，2)1(txxxxf2)1(,1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(xBetterChange助你高考一臂之力2/24xxxxf21)1()1(22)0(x4.代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy上xxy2把yyxx64代入得：)4()4(62xxy整理得672xxy67)(2xxxg5.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf解xxfxf)1(2)(①显然,0x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(②解①②联立的方程组，得：xxxf323)(例6设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式解)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，)()(),()(xgxgxfxfBetterChange助你高考一臂之力3/24又11)()(xxgxf①，用x替换x得：11)()(xxgxf即11)()(xxgxf②解①②联立的方程组，得11)(2xxf，xxxg21)(6.赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf解对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令0x，则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf再令xy得函数解析式为：1)(2xxxf7.递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对任意的自然数ba,都有abbafbfaf)()()(，求)(xf解Nbaabbafbfaf,)()()(，，不妨令1,bxa，得：xxffxf)1()1()(，又1)()1(,1)1(xxfxff故①分别令①式中的1,21xn得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),fffffnfnn将上述各式相加得：nfnf32)1()(，2)1(321)(nnnnfNxxxxf,2121)(2BetterChange助你高考一臂之力4/24二、函数定义域的求解方法求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。（6）0x中x01、直接定义域问题例1求下列函数的定义域：①21)(xxf；②23)(xxf；③xxxf211)(解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21x无意义，而2x时，分式21x有意义，∴这个函数的定义域是2|xx.②∵3x+20，即x-32时，根式23x无意义，而023x，即32x时，根式23x才有意义，∴这个函数的定义域是{x|32x}.③∵当0201xx且，即1x且2x时，根式1x和分式x21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x|1x且2x}另解：要使函数有意义，必须：0201xx21xx例2求下列函数的定义域：①14)(2xxf②2143)(2xxxxf③)(xfx11111④xxxxf0)1()(BetterChange助你高考一臂之力5/24⑤373132xxy解：①要使函数有意义，必须：142x即：33x∴函数14)(2xxf的定义域为：[3,3]②要使函数有意义，必须：13140210432xxxxxxx且或4133xxx或或∴定义域为：{x|4133xxx或或}③要使函数有意义，必须：011110110xxx2110xxx∴函数的定义域为：}21,1,0|{xRxx且④要使函数有意义，必须：001xxx01xx∴定义域为：011|xxx或⑤要使函数有意义，必须：073032xx37xRx即x37或x37∴定义域为：}37|{xx2定义域的逆向问题例3若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a的取值范围奎屯王新敞新疆(定义域的逆向问题)解：∵定义域是R,∴恒成立，012aaxax∴2001402aaaaa等价于BetterChange助你高考一臂之力6/24练习：322logmxxy定义域是一切实数，则m的取值范围；3复合函数定义域的求法例4若函数)(xfy的定义域为[1，1]，求函数)41(xfy)41(xf的定义域奎屯王新敞新疆解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411xxxxx∴函数)41(xfy)41(xf的定义域为：4343|xx例5已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。答案：－1≤x2≤1x2≤1－1≤x≤1练习：设)(xf的定义域是[3，2]，求函数)2(xf的定义域奎屯王新敞新疆解：要使函数有意义，必须：223x得：221x∵x≥0∴220x2460x∴函数)2(xf的定域义为：2460|xx例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。二、函数值域的求解方法函数值域求解的十六种求法BetterChange助你高考一臂之力7/24（1）直接法（俗名分析观察法）：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例1：已知函数112xy，2,1,0,1x，求函数的值域。1,0,3例2：求函数1yx的值域。[1,)例3：求函数11,1yxxx≥的值域。2,例4：求函数2610yxx的值域。1,（2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如20yaxbxca或20Fxafxbfxca类的函数的值域问题，均可使用配方法。例1．求函数322xxy的值域。分析与解答：因为0322xx，即13x，4)1(2xy，于是：44)1(02x，20y。例2．求函数xxxy422在区间]4,41[x的值域。分析与解答：由xxxy422配方得：62242xxxxy，当241x时，函数24xxy是单调减函数，所以41186y；当42x时，函数24xxy是单调增函数，所以76y。所以函数在区间]4,41[x的值域是41186y。（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。例1求函数y=3-2x-x2的值域。解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2的最大值为4，最小值为0。∴函数的值域是［0,2］BetterChange助你高考一臂之力8/24例2：求函数2xy，2,2x的值域。1,44例3：求函数2256yxx的值域。73,8（4）反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围。对于形如)0(abaxdcxy的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。例1：求函数1212xxy的值域。解：由1212xxy解得121xyy，∵20x，∴101yy，∴11y∴函数1212xxy的值域为(1,1)y。（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。例1：求函数125xyx的值域。解：∵177(25)112222525225xxy