第三讲 一元函数积分学

第三讲一元函数积分学一、不定积分内容提要二、定积分内容提要三、典型例题解析一、不定积分内容提要（一）基本概念与性质１．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()Fx的导函数为()fx，即对任一xI，都有()()Fxfx，那么函数()Fx就称为()fx在区间I上的原函数．２．原函数的性质（1）原函数的存在性：连续函数一定存在原函数．（2）原函数是某个区间上的连续且可微的函数．（3）()Fx是()fx在某个区间上的一个原函数，则()FxC也是()fx的原函数．（4）()Fx和()Gx均是()fx在同一区间上的原函数，则()Fx和()Gx仅相差一个常数．约定在本章出现的C如果未加说明均指任意常数．注()fx在区间I上连续，则()fx在区间I上存在原函数．反之，若()fx在区间I内有原函数，()fx在区间I内却不一定连续．例如21,0sin(),00xxFxxx，在,内处处有导数，112sincos,0()()00xxFxfxxxx，故()fx在(,)内有原函数()Fx，但()fx显然在0x处不连续．容易看出，这个间断点是第二类间断点．所以，函数()fx连续仅是存在原函数的充分条件而不是必要条件．3．不定积分的定义在区间I上，函数()fx的带有任意常数项的原函数称为()fx（或()fxdx）在区间I上的不定积分，记作()fxdx．如果()Fx是()fx在区间I上的一个原函数，则()()fxdxFxC，或者称()fx的原函数的全体为()fx的不定积分．4．积分与微分的关系（1）()()dfxdxfxdx或[()]()dfxdxfxdx（先积后微，作用抵消）（2）()()fxdxfxC或()()dfxfxC．（先微后积，添加一个常数）性质1设函数()fx及()gx的原函数存在，则[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx．性质2设函数()fx的原函数存在，k为非零常数，则()()kfxdxkfxdx．（二）不定积分的积分方法1．利用如下积分公式表（1）kdxkxC（k是常数），（2）11xxdxC（1），（3）lndxxCx，（4）2arctan1dxxCx，（5）2arcsin1dxxCx，（6）cossinxdxxC，（7）sincosxdxxC，（8）22sectancosdxxdxxCx，（9）22csccotsindxxdxxCx，（10）sectansecxxdxxC，（11）csccotcscxxdxxC，（12）xxedxeC，（13）lnxxaadxCa（14）shxdxchxC（15）chxdxshxC（16）tanlncosxdxxC（17）cotlnsinxdxxC（18）seclnsectanxdxxxC（19）csclncsccotxdxxxC（20）221arctandxxCaxaa（21）221ln2dxxaCxaaxa（22）22arcsindxxCaax（23）2222ln()dxxxaCxa（24）2222ln()dxxxaCxa2．第一类换元法()fu具有原函数，()ux可导，则有换元公式()[()]()[()]uxfxxdxfudu．这种方法又称为凑微分法，例如求积分()gxdx，则要将()gx凑成[()]()fxx的形式，而()fudu容易积分，即()fudu是属于公式表中有的类型或者接近的类型．3．第二类换元法设()xt是单调的、可导的函数，并且()0t．又设[()]()ftt具有原函数，则有换元公式1()()[[()]()]txfxdxfttdt．这种方法是作新的代换，将()fxdx化成更容易积分的形式，常用的第二类换元法如三角代换、倒代换等．4．分部积分法若()ux与()vx可导，且不定积分()()uxvxdx存在，则不定积分()()uxvxdx也存在，并有()()()()()()uxvxdxuxvxuxvxdx．当被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数（简称反、对、幂、指、三）中的某两类函数的乘积时，通常用分部积分法．5．有理函数的积分（1）一般有理函数的积分：用待定系数法或赋值法将有理真分式化为部分分式之和，那么有理函数的积分就可转化为较简单的部分分式积分之和．（2）三角有理函数的积分：用万能公式将(sin,cos)Rxxdx化为有理函数的积分．（3）其它简单无理函数的积分：通过适当变量代换使其转化为有理函数的积分．二、定积分内容提要（一）定积分的概念1.定积分的定义定积分是积分和的极限，即01()lim()nbiiaifxdxfx定积分的值完全由被积函数和积分区间所确定,而与积分变量的记法无关.2.定积分的几何意义表示介于曲线()yfx、x轴、直线xa及xb各部分面积的代数和．3.定积分的可积性（1）有限区间上的连续函数一定可积；（2）有限区间上有界且只有有限多个间断点的函数也可积.（二）定积分的性质1.规定()0aafxdx,()()baabfxdxfxdx；2.[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx；3.()()bbaakfxdxkfxdx(k是常数)；4.1badxba；5.()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx；6.若()0fx,则()0()bafxdxab；7.若()()fxgx，则()()()bbaafxdxgxdxab；8.()()()bbaafxdxfxdxab；9.若()mfxM,[,]xab,则()()()bambafxdxMba；10.定积分中值定理设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则在积分区间[,]ab上至少存在一点使得()()()bafxdxfba；11.定积分中值定理的推广设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，函数()gx不变号，则在[,]ab上至少存在一点使得()()()()bbaafxgxdxfgxdx．（三）积分上限函数及其导数1.定义设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，称()()xaxftdt为积分上限函数，其中[,]xab；完全类似地可定义积分下限函数.2．原函数存在定理如果函数()fx在区间[,]ab上连续,则积分上限函数()()xaxftdt在[,]ab上可导，其导数为()()()xadxftdtfxdx()axb．推论1()x是()fx在[,]ab上的一个原函数，即连续函数的原函数一定存在．推论2设f为连续函数，u与v均为可导函数，且复合函数[()],[()]fuxfvx都存在，则有()()()[()]()[()]()vxuxdftdtfvxvxfuxuxdx．注上述公式条件是被积函数()ft连续且被积表达式()ftdt中不含有变量x．（四）定积分的计算1．牛顿莱布尼兹公式设()Fx是连续函数()fx在区间[,]ab上的一个原函数，则有()()()bafxdxFbFa,此公式又称微积分基本公式．2．定积分的换元积分法设()fx在区间[,]ab上连续,()t在[,]或[,]上连续,则()[()]()bafxdxfttdt,其中(),()ab．注使用定积分的换元法时，应注意两点：一是所设的变量代换在定义区间上要具有连续导数；二是该变量代换要为单调函数．3．定积分的分部积分法设(),()uuxvvx有连续导数,则[]bbbaaaudvuvvdu．4．对于一些特殊类型的积分，有如下常用结论：（1）若()fx在[,]aa上连续且()fx为偶函数，则0()2()aaafxdxfxdx；（2）若()fx在[,]aa上连续且()fx为奇函数，则()0aafxdx；（3）若()fx是以T为周期的连续函数，则0()()()anTaTTaafxdxnfxdxnfxdx，其中a是任意常数，n为整数；（4）若()fx在[0,1]上连续，则有20(sin)fxdx=20(cos)fxdx，0(sin)fxdx=202(sin)fxdx，0(sin)xfxdx=0(sin)2fxdx．（5）2200cossinnnxdxxdx=1342,21,253131,2,222nnnkkNnnnnnkkNnn．（五）反常积分1.无穷限的反常积分设函数()fx在相应区间上连续，定义()lim()baabfxdxfxdx；()lim()bbaafxdxfxdx若上述等式右端极限存在，则称左边的反常积分收敛，否则称为发散．而00()()()fxdxfxdxfxdx当0()fxdx和0()fxdx同时收敛时，称反常积分()fxdx收敛，否则称为发散．2．无界函数的反常积分（瑕积分）设函数()fx在相应区间上连续，且分别在a的右邻域、b的左邻域、c的邻域内无界，定义：()lim()bbattafxdxfxdx；()lim()btaatbfxdxfxdx若上述等式右端极限存在，则称左边的反常积分收敛，否则称为发散．而()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx当()cafxdx和()bcfxdx同时收敛时，称反常积分()bafxdx收敛，否则称为发散．（六）定积分的应用1．运用元素法建立所求量的定积分表达式的一般步骤：（1）根据问题的具体情形，选取一个变量（如x）作为积分变量，并确定该积分变量的变化区间[,]ab；（2）任取一小区间记为[,]xxdx，计算出在此小区间上的部分量U的近似值：()dUfxdx，称它是所求量U的元素；（3）以()fxdx作为被积表达式，在区间[,]ab上作定积分，即()baUfxdx．2．求平面图形的面积（1）直角坐标系的情形：由连续曲线()yfx，（()0fx），直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形的面积()()baAfxdxab；（2）参数方程情形：由连续曲线(),()()xtytt，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形的面积()()Attdt；（3）极坐标情形：连续曲线()以及,（）所围成的图形的面积21[()]2Ad．3．立体的体积（1）旋转体的体积由连续曲线()yfx，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周的旋转体的体积为2[()]()bxaVfxdxab；当0,()0afx时，此曲边梯形绕y轴旋转一周的旋转体的体积为2()byaVxfxdx．（2）平行截面面积为已知的立体的体积设连续函数()Ax表示过点x且垂直于x轴的截面面积，则该立体的体积为()baVAxdx．三、典型例题解析例1求下列不定积分．（1）2dxxx．（2）3(1)(1)xxdx．分析111nnxdxxCn求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式．1）5322512252121()3dxxdxxCxCxx．（2）35312222323122(1)(1)(1)353xxdxxxxdxxxxxC．例221()xdxx．分析将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．解122211()(2)xdxxxd