2.2 随机过程的统计特性

2.2随机过程的统计特性2.2.1随机过程的概率分布1.一维概率分布对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，设x为任意实数，定义为随机过程X(t)的一维分布函数。})({),(xtXPtxFX若的一阶偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的一维概率密度。),(txFXxtxFtxfXX),(),(随机过程一维分布的性质：1),(),(),(1),(0),(1),(0dxtxfdutuftxFtFtFtxFXxXXXXX2.二维概率分布和n维概率分布对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构成二维随机变量{X(t1),X(t2)}，它的二维分布函数称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。})(,)({),;,(22112121xtXxtXPttxxFX若对x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的二维概率密度。),;,(2121ttxxFX21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX对于任意的时刻t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义为随机过程X(t)的n维概率分布函数。})(,,)(,)({),,,;,,,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxF为随机过程X(t)的n维概率密度。nnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),,,;,,,(),,,;,,,(随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度212121212121421212121)',',,;,,,()',',,;,,,(yyxxttttyyxxFttttyyxxfXYXY若两个随机过程互相独立，则有)',,';,,(),,;,,()',,',,,;,,,,,(11111111mmYnnXmnmnXYttyyfttxxfttttyyxxf一个随机过程不同时刻状态间互相独立，即X(t1)和X(t2)互相独立),(),(),;,(22112121txftxfttxxfXXX例：设随机过程其中w0是常数，X是均值为零，方差为1的正态随机变量，求时Y(t)的概率密度，及Y(t)的一维概率密度。tXtY0cos)(032,0t2.2.2随机过程的数字特征1.数学期望对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为mx(t)，即dxtxxftXEtmXX),()]([)(2.方差对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差，记为D[X(t)]，即dxtxftmxtXEtXEtXDtXXX),()]([)]}([)({)]([)(2223.自相关函数和协方差函数设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称相关函数212121212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxtXtXEttRXX设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2)的二阶联合中心矩为X(t)的自协方差函数2121212211221121),;,()]()][([)]}()()][()({[),(dxdxttxxftmxtmxtmtXtmtXEttCXXXXXX)()(),(),(212121tmtmttRttCXXXX当时，当时，0)(tmX),(),(2121ttRttCXX21tt)()]([)]([)()]()([)()(),(),(1212121211111111ttXEtXEtmtXtXEtmtmttRttCXXXXXX若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的。若RX(t1,t2)=0，则称X(t1)和X(t2)是相互正交的。若则称随机过程在t1和t2时刻的状态是相互独立的。),(),(),;,(22112121txftxfttxxfXXX4.互相关函数和互协方差函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1)和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数定义为dxdyttyxxyftYtXEttRXYXY),;,()]()([),(212121类似地，定义两个随机过程的互协方差函数为dxdyttyxftmytmxtmtYtmtXEttCXYYXYXXY),;,()]()][([)]}()()][()({[),(2121221121)()(),(),(212121tmtmttRttCYXXYXY若对于任意时刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是正交过程，此时有)()(),(2121tmtmttCYXXY若对于任意时刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是互不相关的，此时有)()(),(2121tmtmttRYXXY当X(t)和Y(t)互相独立时，满足则有当X(t)和Y(t)互相独立时，X(t)与Y(t)之间一定不相关；反之则不成立。)()(),(2121tmtmttRYXXY)',,';,,(),,;,,()',,',,,;,,,,,(11111111mmYnnXmnmnXYttyyfttxxfttttyyxxf研究随机过程有两条途经：侧重于研究概率结构侧重于统计平均性质的研究例：求随机过程的数学期望，方差及自相关函数。其中，w0为常数，是在区间上均匀分布的随机变量。)sin()(0ttX]2,0[2.2.3随机过程的特征函数对于某一固定时刻t，随机变量X(t)的特征函数就定义为随机过程的一维特征函数dxtxfeeEtXxjtXjX),(][),()(一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系dettxfxjXX),(21),(随机过程的二维特征函数：随机过程在任意两个时刻t1和t2的取值构成一个二维随机变量{X(t1),X(t2)},它的特征函数定义为随机过程X(t)的二维特征函数。212121)()(2121),;,(][),;,(22112211dxdxttxxfeeEttXxjxjtXjtXjX212121221212211),;,(41),;,(ddettttxxfxjxjXX随机过程的特征函数与矩函数之间的关系为：0|),()()]([nXnnntjtXE相关函数与二维特征函数之间的关系为：021212122121|),;,(),(ttttRXX