2.2.1 椭圆及其标准方程(第一课时)

§2.2.1椭圆及其标准方程X生活中的椭圆F1F2M[1]取一条细绳，[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形数学实验注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：（1）必须在平面内.（2）两个定点---两点间距离确定．（3）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定．思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．一、椭圆定义：平面内与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．12,FF12||FF|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0,|F1F2|=2c)MF1F21212MFMFFF+1212MFMFFF+=1212MFMFFF+即2a2c时表示椭圆即2a=2c时表示线段即2a2c时不表示任何图形练习1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则动点P的轨迹为（）变式：(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则动点P的轨迹为（）(2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F2C.直线F1F2D.无轨迹ABD建立适当的坐标系，用有序实数对yx,表示曲线上任意一点M的坐标.写出曲线上动点M适合的条件p的集合P={M|p(M)}用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0化方程f(x,y)=0为最简形式建系、设点、列式、化简、证明证明方程为满足条件的方程探究活动♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy思考？怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单?.建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.建系的一般原则解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）222212(),()MFxcyMFxcyaycxycx2)()(2222得方程由椭圆的定义得，椭圆就是集合：代入坐标二、椭圆的标准方程的推导122PMMFMFa222222bayaxb22ba两边除以得).0(12222babyax设所以即,0,,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方思考?观察右图,你能从中找出表示a,c,的线段么?22acF1F2P0xy)0(12222babxay总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：1.椭圆的标准方程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx222(0,0)cababc其中012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2MF1+MF2=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM2.两类标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.课堂练习：11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?112516xyxABABBBF22211练习2：已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点。（1）求A的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，A的周长有变化吗？为什么？FFFA2F1FxyoB例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；(3)两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P（-1.5，2.5）.解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为)0(12222babxay∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点2523，∴……②1)()(22232225ba联立①②可求得：6,1022ba11622yx∴椭圆的标准方程为161022xy(法一)xyF1F2P11622yx11622yx或(法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa　　又　　所以所求椭圆的标准方程为.161022xy)0(12222babxay1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)4,1,abx焦点在轴上；(2)4,15,yab焦点在轴上；(3)10,25.abc22116xy2211516xy2213616xy2211636xy或练习2.根据椭圆的方程填空22(1)1169xyabc则焦点坐标2222(3)1(0)1xymmmabc则焦点坐标abc则焦点坐标22(2)136100xy43(7,0),(7,0)7106(0,8),(0,8)821mm(0,1),(0,1)1例2已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（-2，0）和（2，0），并且经过，求出椭圆的标准方程。53(,)22221106xy答案定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”.~求曲线方程的方法：练习：1.椭圆的方程是焦点是.若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长是.2.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是.3.椭圆mx2+ny2=-mn(mn0)的焦点是.191622yx0,7,0,716(0,4)mn,0第40页练习1,21、椭圆的定义（强调2a|F1F2|）和椭圆的标准方程2、椭圆的标准方程有两种，注意区分4、求椭圆标准方程的方法3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法1、49页习题2.21、2