高考数学总复习：第六篇 第1讲 数列的概念与简单表示法

抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考第1讲数列的概念与简单表示法【2014年高考会这样考】1．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．2．考查由数列的递推关系求数列的通项公式．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理(1)定义按________排列的一列数叫作数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做_____．(2)数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大依次取值时所对应的一列函数值．1．数列的概念一定次序首项抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….(3)数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与___之间的函数关系可以用一个式子____________来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式.如果已知数列{an}的_______(或_______)，且从第二项(或某一项)开始的任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．2．数列的递推公式第1项前n项3．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝___，n＝1，________，n≥2.S1Sn－Sn－1an＝f（n）n抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考两类特殊问题(1)解决与数列周期性有关的题目，关键是找出数列的周期．【助学·微博】(2)求数列最大项的方法：①判断{an}的单调性；②解不等式组ak≥ak－1，ak≥ak＋1，求数列最小项依此类推．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考三种方法由递推式求通项an的方法：(1)an＋1－an＝f(n)型，采用累加法；(2)an＋1an＝f(n)型，采用累乘法；(3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考A．13B．14C．15D．16解析a7＝S7－S6＝49＋7－36－6＝14.答案B考点自测1．(2013·汉中模拟)设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a7的值为()．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考A．30B．31C．32D．33解析a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.答案B2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列解析A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立．答案C3．(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考4．下列关于星星的图案个数构成一个数列，则该数列的一个通项公式是()．A．an＝n2－n＋1B．an＝nn－12C．an＝nn＋12D．an＝nn＋22抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考答案C解析从图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有1＋2＝3个；n＝3时，有1＋2＋3＝6个；n＝4时，有1＋2＋3＋4＝10个；…∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考答案215．(2013·苏州模拟)函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析y＝x2上点(ak，a2k)处的切线方程为y－a2k＝2ak(x－ak)，令y＝0可得x＝12ak，即ak＋1＝12ak，即可得数列{ak}是首项为16，公比为12的等比数列，则a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【例1】►根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2,0,2,0，…；考向一已知数列的前几项求通项公式(2)12，34，78，1516，…；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(4)7,77,777,7777，….抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题视点]通过分析各数列已知项的数字特征的共性，及常见的描述方法写出各数列的通项公式．解(1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1,1＋1，－1＋1，…，可以看作数列1，－1,1，－1，…的各项都加1，因此所给数列的通项公式an＝(－1)n＋1＋1.所给数列也可看做2,0,2,0，…周期性变化，因此所给数列的通项公式an＝2n为奇数，0n为偶数.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.(4)所给数列7,77,777,7777，…可以改写成79×9，79×99，79×999，79×9999，…，可以看作79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1000－1)，79×(10000－1)，…，因此所给数列的通项公式为an＝79×(10n－1)．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(3)0.8,0.88,0.888,0.8888，….(2)12，2，92，8，252，…；解(1)an＝(－1)n＋1(2n－1)．(2)an＝n22.(3)an＝891－110n.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【例2】►已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.考向二由数列的前n项和求通项公式[审题视点]当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．解由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【例3】►(1)在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求数列的通项公式；(2)在数列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．[审题视点]观察递推式的特点可知利用累加法或累乘法求通项公式．考向三由递推公式求数列的通项公式抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)∵an＝an－1＋2n－1(n≥2)．∴an－an－1＝2n－1(n≥2)．则有a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…an－an－1＝2n－1.上述n－1个式子的等号两端分别相加可得：an－a1＝n2－1，∴an＝n2.又∵a1也满足上式，所以an＝n2.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝nn＋1×n－1n×n－2n－1×…×34×23×1＝2n＋1，又∵a1也满足上式，∴an＝2n＋1(n∈N*)．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，如第(2)题．注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练3】(1)在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.求{an}的通项公式．(2)已知a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.解(1)由题设知，a1＝1.当n1时，an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1.∴anan－1＝n＋1n－1.∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝n＋1n－1×nn－2×…×42×31×1＝nn＋12.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，公比q＝3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【命题研究】已知an与Sn的关系式求通项公式是高考中的常见题型，既可以考选择、填空题，也可以考解答题．就考查形式来看，有些题目很容易看出an与Sn的关系式，但有时可能需要我们去抽象出一个新数列的和与项之间的关系，比如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，此时我们可以把上式看成数列{nan}的前n项和为n2来求解．规范解答9——高考中对Sn与an的关系的考查抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【真题探究】►(本小题满分14分)(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．[教你审题]第1步赋值n＝1，可求a1；第2步当n≥2时，由Sn＝Tn－Tn－1，an＝Sn－Sn－1找出an＋1与an的关系式；第3步变形．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考[规范解答]解(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2分)(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－