3.6 弧微分 曲率 函数作图

3.6弧微分曲率函数作图.),()(内具有连续导数在区间设函数baxf，取定点CyxA),(00,),(CyxM,),(CyyxxN一.弧微分)()(xsxxssxyo)(xfyCA0xMx,基点,)(xssAM有NxxMNAMANsyx,)()(,xfxxfyxx相应有以增量给xyo)(xfyCA0xMxNxxsyxMNAMANs222)()(yxMN而22xMNxs22xMNMNMN221xyMNMN0x当,MNMNx0limMN,1limMNMNMN2201limdxdyxsx2dxds,12dxdydxds是单调递增函数，)(xs22)()(dydxdsdxyds21或222)()()(dydxdsdsxyo)(xfyCA0xMxNxxsyx.dy.弧微分公式T,12dxdydxds,,)()(:ttytxC若曲线)(),(tt连续且不全为零，则，在][dtttds22)]([)]([,,)(:rrC若曲线],[)(在r连续，则为参数,,sin)(cos)(:ryrxCdrrds22])sin)([(])cos)([(drr22)]([)]([SAB..AB1)AB..SAB2)二.曲率及其计算21切线转动的角度越大曲线弯曲得越厉害.弧长相等的两曲线段，1.曲率的定义曲线的弯曲程度.SAB..AB..S)SS切线转角相同的两曲线段弧长越短曲线弯曲得越厉害..有关线的弧长曲关，而且还与所考察的的大小有变化的角度向曲程度不仅与其切线方由此可见，曲线的弯S单位弧长切线方向变化的角度..来衡量曲线的弯曲程度所以，应该用比S定义CBxfyCA为上一点为曲线设,)(:,附近的一点上A，的弧长记为SABSxyo)(xfy：CAB....)))BA到从，切线方向变化的角度为SK则弧称为AB平均曲率，（平均弯曲程度），当0SABC沿SS0lim则dSdSS0limK在点称为曲线C.处的A曲率（这里取绝对值是为了使平均曲率、曲率都是正数）)(的弯曲程度它刻划了曲线在一点处2.曲率的计算公式,)(:bxaxfyC，设曲线,tany,12dxyyddSdK,arctany有.12dxydS,二阶可导且f232)1(yy曲率公式处的曲率为：的点则曲线上横坐标为AxdSdK由定义知给出，由参数方程若曲线)()(tytxC,)()(ttdxdy则,)]([)()()()(322tttttdxyd.)()()()()()(2322tttttt232)1(yyK,,)(:rrC若曲线二阶可导，)(r，为参数则,sin)(cos)(ryrx,sin)(cos)(cos)(sin)(rrrrdxdydxdydxddxyd22dxdrrrrsincoscossin,)sincos()(2322rrrrrr232)1(yyK.])([)(2232222rrrrrr例1的曲率，求直线baxy)1.)2的圆的曲率求半径为R解若用定义，)1切线由于直线上任一点处的就是它本身，.0K,0S,0K，切线方向变化的角度0直接得：或由公式232)1(yyK.0K均为零，直线上任一点处的曲率结论：.直线不弯曲即,ay.0y))..RABOs..若用定义，)2如图：AOB切线转动的角度：,RSSK.1RSRS.1lim0RSKSOR..1RK同理可得,RR,KKO..O弯曲得厉害.比.)()()()()()(:2322ttttttK或用公式,sincos:tRytRx圆,cossintRytRx,sincostRytRx.1RK结论：圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数，且半径越小曲率越大;圆的半径R1.1KR恰好是其曲率的倒数例2?2上哪一点的曲率最大抛物线cbxaxy解,2baxy,2ay,])2(1[2232baxaK显然,,2时当abx.最大K,)44,2(2为抛物线的顶点又aacbab.最大抛物线在顶点处的曲率三.渐近线定义:,,)(离趋向于零的距到某定直线如果点移向无穷远处时沿着曲线上的一动点当曲线LPPxfy.)(一条的就称为曲线则直线xfyL渐近线yxo)(xfyPPbaxy：L1.铅直渐近线)(轴的渐近线垂直于x)(lim)(lim00xfxfxxxx或如果0xx)(lim0xfxx或yox0x.例如：,)3)(2(1xxy有铅直渐近线:2x3x)(xfy,2x.3x.)(0的一条铅直渐近线就是则xfyxx2.水平渐近线)(轴的渐近线平行于x),()(lim)(lim为常数或如果bbxfbxfxx例如:,arctanxy有水平渐近线两条:.2,2yyyoxxyarctan.)(的一条水平渐近线就是则xfyby,2arctanlimxx,2arctanlimxx223.斜渐近线0])([lim)(baxxfxx])([lim)(lim0)()(axxfxaxxfxxxxP)(xfybaxyyxoMxC.])([lim)(baxxfxx,01lim)(xxxaxxfxx)(lim)(即,)(limaxxfx.])([limbaxxfx的渐近线是曲线直线)(xfybaxy注意:不是任何曲线都有渐近线.,)(0xxf有无穷间断点若0xx则:.2求水平渐近线，为常数若)()(limbbxfx.近线就是曲线的一条水平渐则by.否则无水平渐近线,)(lim.3xfx若再求斜渐近线：,])([lim)(lim都存在与当axxfbxxfaxx.baxy则曲线有斜渐近线.否则没有斜渐近线先求铅直渐近线：.1.是曲线的铅直渐近线.0不是铅直渐近线否则xx,1)(,0xxf有无穷间断点函数显然xxfax)(lim又)1()3)(2(2limxxxxx,2]2)1()3)(2(2[limxxxxx])([limaxxfbx,4.42是曲线的一条斜渐近线xy.1)3)(2(2)(的渐近线求xxxxf解例3.没有水平渐近线.)(limxfx.1是曲线的铅直渐近线x1)3)(2(2xxxy1x142xy四.函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形的一般步骤:的定义域及函数的某些确定函数)(xf第一步特殊点，如与坐标轴的交点等，考察函数的奇;等偶性，对称性，周期性第二步,)(,)(xfxf求,0)(xf确定;)(),(0)(不存在的点的点及xfxfxf凸凹性极值列表讨论函数的单调性、、第三步第四步确定曲线的渐近线;根据以上信息描点作图.第五步;及拐点作图举例例4.2)1(4)(2的图形作函数xxxf解,0:xD非奇非偶函数,且无对称性.,)2(4)(3xxxf.)3(8)(4xxxf,0)(xf令,2x得驻点,0)(xf令.3x得特殊点]2)1(4[lim)(lim2xxxfxx,2;2y得水平渐近线]2)1(4[lim)(lim200xxxfxx,.0x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf00)(xf20不存在拐点极值点间断点3)926,3(:补充点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图xyo232111236ABC2)1(4)(2xxxf