3.6 脉冲响应不变法-数字信号处理 总结

如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法2.双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换3.6脉冲响应不变法(ImpulseInvariance)z变换的定义令z=拉普拉斯复变量，式中是相对连续系统及连续信号的角频率，单位为rad/s（1）（2）WjsssTessssTjTTjsTeeeezWW)(wwjsTrezTersW则f2Wz变换的定义Ts是抽样周期（或抽样间隔），Fs=1/Ts是抽样频率因此,当f在轴上从-∞变至+∞的过程中，每间隔Fs，对应的从0变到2π，即在单位圆上绕了一周，所以，由s平面到z平面的映射不是单一的。ssssFTFfTwwwWW/2Wjw脉冲响应不变法的基本原理对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]kTtthkh)(][脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。3．计算h[k]的z变换得到H(z)。脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反变换抽样t=kTz变换设H(s)只有一阶极点，即)(e)]([)(11tuAsHLthtplMll对h(t)等间隔抽样得11e1]}[{)(zAkhZzHslTplMlllMlpsAsH1)(脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)——单极点情况H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反变换抽样t=kTZ变换llMlpsAsH1)(11e1)(zAzHslTplMl1e111zpsTpll稳定性分析TjTeezW令，则有脉冲响应不变法的基本原理sTezTezllMlpsAsH1)(11e1)(zAzHslTplMl极点映射关系：Wjs稳定性分析1)0,|z|1S域左半平面映射到z域单位元内Tez2)0,|z|=13)0,|z|1S域虚轴映射到z域单位圆上S域右半平面映射到z域单位圆外因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法的基本原理)(wjeH)(WjH和的关系TnHTHnsπ2j1)e(jww无混叠时：π),j(1)e(jWwwHTHs数字滤波器在w点的频率响应和模拟滤波器在W点的频率响应只差一个常数因子1/Ts数字频率w与模拟频率W的关系为wWTs)(wjeH例:设一阶模拟低通滤波器的系统函数为cc)(wwssH利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。1cce1)(zzHT)e(cTH解：ccj)j(H利用单极点H(s)与H(z)的映射关系，可得AF与DF的频率响应分别为其中WwT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下例:设一阶模拟低通滤波器的系统函数为cc)(wwssH利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：051015202500.20.40.60.81HzDFAFfsam=50Hz例:设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：02040608010000.20.40.60.81HzDFAFfsam=200Hzcc)(wwssH脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法的优缺点缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设计高通、带阻等滤波器。优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性wWTs脉冲响应不变法设计DF的步骤[numd,dend]=impinvar(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多项式的系数向量Fs=1/T：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量脉冲响应不变法的MATLAB实现例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2,Ws=0.6,Ap2dB,As15dB。%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;Fs=1;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=Wp*Fs;ws=Ws*Fs;%determinetheorderofAFfilterN=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');%determinethe3-dbcutofffrequencyofBWfilterfrompass-bandspecficationwc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2);%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s');例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2,Ws=0.6,Ap2dB,As15dB。%determinetheDFfilter[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs);%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h));numd=numd/norm;plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足Wp=0.2,Ws=0.6,Ap2dB,As15dB。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-18-16-14-12-10-8-6-4-20NormalizedfrequencyGain,dBAp=1.72dBAs=14.2dB结论对于低通和带通滤波器，当Ts足够小时，冲激响应不变法可给出较为满意的结果。对于高通，带通滤波器不是限带的，因此不能用冲激响应不变法实现H（s）到H（z）的转换。补充1.Butterworth模拟低通滤波器设计[num,den]=butter(N,wc,'s')确定阶数为N，3-dB截频为wc(radian/s)的Butterworthfilter分子和分母多项式。's'表示模拟域。[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')确定模拟Butterworthfilter的阶数N和3-dB截频wc。wc是由阻带参数确定的。's'表示模拟域。[z,p,k]=buttap(N)确定N阶归一化的Butterworthfilter的零点、极点和增益(gain)例：设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40;[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');fprintf('Orderofthefilter=%.0f\n',N)[num,den]=butter(N,Wc,'s');disp('Numeratorpolynomial');fprintf('%.4e\n',num);disp('Denominatorpolynomial');fprintf('%.4e\n',den);omega=[WpWs];h=freqs(num,den,omega);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));omega=[0:200:12000*pi];h=freqs(num,den,omega);gain=20*log10(abs(h));plot(omega/(2*pi),gain);xlabel('FrequencyinHz');ylabel('GainindB');例：设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBAp=0.62dB,As=40dB050010001500200025003000-80-60-40-200FrequencyinHzGainindBBW型:N=8补充2.切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器[z,p,k]=cheb1ap(N,Ap);确定N阶归一化的Chebyshevfilter的零点、极点和增益(gain)。[num,den]=cheby1(N,Ap,wc,'s')确定阶数为N，通带截频为wc(radian/s)的Chebyshevfilter。's'表示模拟域[N,wc]=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,'s')确定模拟Chebyshevfilter的阶数N。wc=wp(rad/s)例：设计满足下列条件的模拟CBI型低通滤波器fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB%filterspecificationWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40;%Computerfilterorder[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,'s');fprintf('Orderofthefilter=%.0f\n',N)%computefiltercoefficients[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'s');disp('Numeratorpolynomial');fprintf('%.4e\n',num);disp('Denominatorpolynomial');fprintf('%.4e\n',den);例：设计满足下列条件的模拟CBI型低通滤波器fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB%ComputeApandAsofdesignedfilteromega=[WpWs];h=freqs(num,den,omega);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：设计满足下列条件的模拟CBI型低通滤波器fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBAp=1.00dB,As=45dB050010001500200025003000-70-60-50-40-30-20-10FrequencyinHzGainindBBW型:N=8CB型:N=5补充3.切比雪夫II（CBII）型模拟低通滤波器[N,wc]=cheb2ord(wp,ws,Ap,As,'s')确定模拟切比雪夫II型滤波器的阶数N。[num,den]=cheby2(N,As,wc,'s')确定阶数为N，阻带衰减为AsdB的切比雪夫II型滤波器的分子和分母多项式。wc由cheb2ord函数确定。切比雪夫II（CBII）型模拟低通滤波器补充4.模拟高通滤波器的设计MATLAB实现[numt,dent]=lp2hp(num,den,W0)%高通滤波器的设计wp=1/(2*pi*5000);ws=1/(2*pi*1000);A