等差与等比数列习题和答案

1等差与等比数列1．数列1，3，7，15，…的通项公式an等于（）．（A）2n（B）2n＋1（C）2n－1（D）2n－1【提示】排除法．由已知，各项均为奇数．所以（A）、（D）不正确．对于（B），由于n＝1时，21＋1＝3．所以（B）也不正确．也可以直接归纳出2n－1．【答案】（C）．2．已知等差数列的公差为d，它的前n项和Sn＝－n2，那么（）．（A）an＝2n－1，d＝－2（B）an＝2n－1，d＝2（C）an＝－2n＋1，d＝－2（D）an＝－2n＋1，d＝2【提示】由Sn＝－n2知，a1＝S1＝－1，a2＝S2－a1＝－3，从而d＝－2，且an＝a1＋（n－1）d＝－1＋（n－1）·（－2）＝－2n＋1．【答案】（C）．3．在a和b（a≠b）两数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为（）．（A）nab（B）1nab（C）1nba（D）2nab【提示】b＝a＋[（n＋2）－1]d．【答案】（B）．4．数列｛an｝中，an＝－2n＋100，当前n项和Sn达到最大值时，n等于（）．2（A）49（B）50（C）51（D）49或50【提示】令an＝－2n＋100≥0，得n≤50．即a49以前各项均为正数，a50＝0，故S49或S50最大．【答案】（D）．5．等比数列｛an｝的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若510SS＝3231，则510aa等于（）．（A）－321（B）－21（C）321（D）21【提示】由已知可求得q＝－21．【答案】（A）．6．等差数列｛an｝中，a1＞0，S5＝S11，则第一个使an＜0的项是（）．（A）a7（B）a8（C）a9（D）a10【提示】由S5＝S11得2a1＋15d＝0，又a1＞0，所以d＜0．而2an＝2a1＋2（n－1）d＝（2n－17）d＜0，所以2n－17＞0即n＞8.5．【答案】（C）．7．已知数列｛an｝中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若｛an｝是等差数列，则a5＋a8＝___________________；若｛an｝是等比数列，则a6·a7＝______________．【提示】a3＋a10＝3，a3a10＝－5．再利用已知与所求中的关系可求．【答案】a5＋a8＝a3＋a10＝3；a6·a7＝a3·a10＝－5．8．在等比数列｛an｝中，若其中三项a1、a2、a4又成等差数列，则公比是_____________．3【提示】由已知，得2（a1q）＝a1＋a1q3即q3－2q＋1＝0．【答案】1或251．9．等差数列｛an｝的公差d＞0．已知S6＝51，a2·a5＝52．则S7＝_______________．【提示】列出a1和d的方程组，求a1和d．进而求S7．或由S6＝2)(661aa＝3（a2＋a5）＝51，得方程组52175252aaaa，求出a2，a5，进而求S7．【答案】70．10．已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则1042931aaaaaa＝___________．【提示】由已知推出a1＝d（d≠0），并代入所求式中，消去d即可．【答案】1613．11．已知数列na的通项公式an=3n－50，则当n=______时，Sn的值最小，Sn的最小值是__________。(答案：16，－392)12.在等差数列中已知a1=12,a6=27,则d=___________13.在等差数列中已知13d，a7=8，则a1=_______________14.数列na的前n项和23nSnn＝，则na＝___________15.若lg2,lg(21),lg(23)xx成等差数列，则x的值等于（）A.0B.2log5C.32D.0或32416.在等差数列na中31140aa，则45678910aaaaaaa的值为（）A.84B.72C.60.D.4817.在等差数列na中，前15项的和1590S，8a为（）A.6B.3C.12D.418.在等差数列na中,若34567450aaaaa，则28aa的值等于（）A.45B.75C.180D.30019．已知数列｛an｝的通项公式an＝)2(1nn，则它的前8项和S8等于（）．（A）109（B）209（C）4528（D）4529【提示】an＝21（n1－21n），Sn＝21（1＋21－11n－21n）．【答案】（D）．20.已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值等于（）A．5B．10C．15D．2021.已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则||nm（）5A．1B．43C．21D．8322.数列{an}中，已知S1=1，S2=2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1=0(n∈N*)，则此数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列23.等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．66B．64C．2663D．260324.数列{an}的通项公式是an=11nn(n∈N*)，若前n项的和为10，则项数为（）A．11B．99C．120D．12125.数列na的前ｎ项的和Sn=3n2＋n＋1，则此数列的通项公式an=__．)2(26)1(5nnnan．16、)0(,,,,aaaaa，r与s同为奇数或偶数．26．已知13nn，则这个数列的前n项和nS______________.(答案：13212121nnn)27.已知数列na是等差数列，且.12,23211aaaa（1）求数列na的通项公式；（2）令).(Rxxabnnn求数列nb前n项和的公式．解析：设数列}{na公差为d，则,12331321daaaa又.2,21da6所以.2nan(Ⅱ)解：令,21nnbbbS则由,2nnnnnxxab得,2)22(4212nnnnxxnxxS①,2)22(42132nnnnxxnxxxS②当1x时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112nnnnnnxxxxnxxxxSx所以.12)1()1(212xnxxxxSnnn当1x时，)1(242nnnSn，综上可得当1x时，)1(nnSn当1x时，.12)1()1(212xnxxxxSnnn28.求下面各数列的和：（1）111112123123n；（2）.21225232132nn(1)12)]111()3121()211[(2)111(2)1(23211nnnnSnnnnnann故(本题用到的方法称为“裂项法”，把通项公式化为an=f(n＋1)－f(n)的形式)(2)通项.)21()12(212nnnnna呈“等差×等比”的形式，nnnnS212)21(231729.数列｛an｝满足a1=1，an=21an－1＋1(n≥2)（1）若bn=an－2，求证｛bn｝为等比数列；（2）求｛an｝的通项公式．解析：(1)由an=21an－1＋1得an－2=21(an－1－2)即21221nnaa，(n≥2)∴｛bn｝为以－1为首项，公比为21的等比数列(2)bn=(－1)(21)n－1，即an－2=－(21)n－1∴an=2－(21)n－130.等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于（）A.4B.8C.16D.32答案:C31.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）（A）2（B）3（C）4（D）8答案:A32.在各项都为正数的等比数列na中，首项31a，前三项和为21，则543aaa=（）A．84B．72C．33D．189答案:A33.已知数列}{na满足01a，011nnaaaa（1n），则当1n时，na＝（）（A）2n（B）(1)2nn（C）12n（D）12n8答案d34.在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na也是等比数列,则nS等于()(A)122n(B)3n(C)2n(D)31n答案:c35.若数列na满足：1.2,111naaann，2，3….则naaa21.答案:12n；36．设等比数列}{na的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为.答案:2；37.已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。．解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q所以2q+2q=203,解得q1=13,q2=3,当q=13时,a1=18.所以an=18×(13)n－1=183n－1=2×33－n.当q=3时,a1=29,所以an=29×3n－1=2×3n－3.38.已知数列{}na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n…．（Ⅰ）证明：数列1{1}na是等比数列；（Ⅱ）数列{}nna的前n项和nS．解：（Ⅰ）121nnnaaa，111111222nnnnaaaa，11111(1)2nnaa，又123a，11112a，数列1{1}na是以为12首项，12为公比的等比数列．9（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222nnna，即1112nna，2nnnnna．设23123222nT…2nn，①则23112222nT…1122nnnn，②由①②得2111222nT…11111(1)1122112222212nnnnnnnnn，11222nnnnT．又123…(1)2nnn．数列{}nna的前n项和nnnnnnnnnS22242)1(2222．39.已知nS为等比数列na前n项和，13233331nna，求nS【解题思路】可以先求出na，再根据na的形式特点求解.【解析】212331)31(133331132nnnna，nnSnnn2131)31(32121)3333(2132即.432143nSnn40.已知na为等比数列，6,3876321aaaaaa，求131211aaa的值.【解析】设等比数列na的公比为q，6,3876321aaaaaa，23216545aaaaaaq，131211aaa；41..已知na是等比数列，41252aa，，则13221nnaaaaaa=10（）.A)41(16n.B)21(16n.C)41(332n.D)21(332n【解析】C．41252aa，，.21,41qa13221nnaaaaaa)41(332n42.在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是（）A、14B、16C、18D、20答案:B43.8、在正项等比数列na中，153537225aaaaaa，则35aa_______。答案:544、在等比数列na的前n项和中，1a最小，且128,66121nnaaaa，前n项和126nS，求n和公比q解析：因为na为等比数列，所以64,2,,128661111121nnnnnnaaaaaaaaaaaa解得且依题意知1q21261,12