共线向量与共面向量资料

共线向量与共面向量1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.复习回顾:1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.一、共线向量与共线向量定理规定:零向量与任一向量是共线向量.思考:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,如何表示直线l上的任一点P?lAPaB⑴∵//APa,∴存在唯一实数tR,使APta.∴点P在直线l上唯一实数,tR使APta①⑵对于任意一点O,有APOPOA则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAta②⑶点B在直线l上,且ABa则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAtAB③注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.O注:我们把非零向量a叫做直线l的方向向量.例1已知A、B、P三点共线，O为直线外一点，且，求的值.OPOAOB反过来,如果已知OPOAOB,且1,那么ABP、、三点共线吗?二.共面向量:1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量一定共面吗？2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.AabBCPp例：已知空间任意一点O和不共线的三点ABC、、,满足向量关系式OPxOAyOBzOC(其中1xyz)的点P与点ABC、、是否共面?注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有MPxMAyMBOPOMxMAyMB练习：已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？(1)3OBOMOPOA＋－(2)4OPOAOBOM7.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？212(1);555OPOAOBOC(2)22OPOAOBOC；一、引入1.共线向量定理：(0)abbabab,，空间中任意两个向量共线()的充要条件是存在实数使得2.共线向量定理的推论：(1)若直线l过点A且与向量平行，则(2)三点P、A、B共线的充要条件有：aOPOAtaPl点在直线上tAPtABAPAB，（1）存在实数，使得即tOPOAtAB（2）存在实数，使得,(1)xyOPxOAyOBxy另：存在实数，，使得3.共面向量定理：).abppxayabxby如果两个向量、不共线,那么向量与、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(，，使得(,)xyAPxAByAC（1）存在有序实数对，使得OOPOAxAByAC（2）对空间中任意一点，有4.P、A、B、C四点共面充要条件：(1)OOPxOAyOBzOCxyz另：对空间中任意一点，有例1如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使求证：四点E、F、G、H共面；D'A'B'C'DABCOOEOFOGOHkOAOBOCODEHGF例:已知OE是以OAOBOC、、为棱的平行六面体OADBCFEG─的对角线,点M是ABC△的重心.求证:点M在直线OE上.OAMGEFCBDO'分析:证三点共线可尝试用向量来分析.1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAABA2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11＋＋33课外补充练习:D练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c122323解:ABCDA1B1D1C1MN连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.课外补充练习:1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面DC补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底表示向量,,OAOBOCOGCOABMNG解：在△OMG中，OGOMMG1223OAMN12()23OAONOM111633OAOBOC4.下列命题中正确的有：(1)pxaybpab　与、共面;(2)pabpxayb与、共面　；(3)MPxMAyMBPMAB、、、共面；(4)PMABMPxMAyMB、、、共面；A.1个B.2个C.3个D.4个B三、课堂小结：1.共线向量的概念。2.共线向量定理。3.共面向量的概念。4.共面向量定理。