2007数学物理方法C卷答案及评分标准

第1页共6页南昌大学2006～2007学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6029(C)卷答案及评分标准课程编号：H55020190课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级05物理、应物与光信息姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分42508100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共42分)得分评阅人1.复数iz的指数式为2/ie2.dxxx)]2([sin1010-1。3.复数)1/()1(iiz可简化为-i。4.拉普拉斯方程0u在三维直角坐标系中的表达式为0///222222zuyuxu5.若复变函数),(),()(yxivyxuzf可导，必满足柯西－黎曼条件，这个条件的数学表达式为yvxu//、xvyu//6.在1z的圆内，函数11)(2zzf的泰勒级数展开为421zz7.已知1n，l为任一回路，则lndzz)(0。8.拉普拉斯变换][teL1/(p-1)(Rep0)。第2页共6页9.数学物理方程定解问题的适定性是指_解是存在的、唯一的和稳定的。10.一根两端(左端为坐标原点而右端lx）固定的弦，用手在离弦左端三分之二处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移),(txu的初始条件为0)0,(u;)3/2(,/)(3)0,()3/20(,2/3)0,(txlxllxlhxulxlhxxu和11.偏微分方程0736245xyyuxuuuuyxyyxyxx的类型为双曲型。12.若解析函数)(zf的实部为22yx，则其虚部为B)，其中C为常数。A)Cxy2B)Cxy2C)Cyx22D)Cyx2213.复变函数532()4zifzzz有D)。A)两个单极点和一个三阶极点B)一个单极点，一个可去极点和一个三阶极点C)两个单极点和一个二阶极点D)一个单极点和一个三阶极点14.判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。（1）复变函数)(zf在某点解析和可导等价。（×）（2）03xyuuxuyuuyxyxxy是二阶非齐次的线性偏微分方程。（×）（3）某复变函数在点0z的洛朗级数中无负幂项，则该复变函数在点0z的留数为零。（√）二、求解题(每小题10分，共50分)得分评阅人说明：（1）需给出必要的文字说明和演算过程。（2）本题第5、6、7小题按专业只做其中一题，注意：a.物理学与应用物理学专业考生只能在第5、6题中任选一题完成；b.光信息专业考生则必须完成第7题。第3页共6页1.用留数定理计算积分3||2)2)(1(zzzdz。解：被积函数2)2)(1(1)(zzzf在积分围线内有两个极点：单极点1z，两阶极点2z。---(2分)留数分别为9/1)()1(lim)1(Res1zfzfz---(3分)和9/111lim)()2()!12(1lim)2(Res222zdzdzfzdzdfzz---(3分)根据留数定理得0)}2(Res)1(Res{2)2)(1(3||2zffizzdz---(2分)2.解常微分方程初值问题0)0(')0(,1622yyydtdydtyd。注：可使用拉普拉斯变换，或其它任何方法。解：拉普拉斯变换得ppypyppyp/1)(6)()(2---(3分)所以ppppppppppy612110131151)2)(3(1)6(1)(2---(4分)逆变换得61101151)(23tteety---(3分)第4页共6页3.设)(xX满足方程0XX和边界条件0)()0(lXX，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。解：可分为三种情况讨论：1)0，解为xxeCeCxX21)(，由边界条件只能得到平庸解0)(xX，显然没有意义。----------------(3分)2)0，解为21)(CxCxX，代入边界条件得01C，于是22,)(CCxX为任意常数。----------------(2分)3)0，解为.sincos)(21xCxCxX,代入边界条件得.0sin,0.0)cossin(,012212lCClClCCa)当的取值使得0sinl时，必有01C，这和上两种情况一样没有意义。b)当的取值使得0sinl时，1C不必为零，这种是有意义的情况。此时由0sinl得到本征值:).,3,2,1(222nlnnl综合2）和3）两种情况得本征值).,3,2,1,0(222nln此时，本征解为.cos)(1xlnCxX----------------(5分)4.试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程0xxttuu，初始条件为xuxutttsin,cos00。解：若方程02xxttuau的初始条件为)(|),(|00xuxuttt，则其解为daatxatxtxuatxatx)(21)(21)(21),(，此即达朗贝尔公式。---------------(4分)本题中，1a，xxcos)(，xxsin)(，则txtxtxdtxtxtxutxtxtxtxcoscos21)]cos()[cos(21sin21)]cos()[cos(21),(----------------(6分)第5页共6页注意：以下5、6、7小题按专业只做一题，物理学与应用物理学专业的考生只能从5和6两小题中任选一题完成，光信息专业的考生则必须完成第7小题。我是物理学或应用物理学专业的考生，选做题。5.用留数定理计算实积分024xdx。解：复变函数)2)(2(141)(2izizzzf，具有单极点i2。-----(4分)但仅有i2在上半平面，其留数为------(2分)iizzfizisfiziz4121lim)]()2[(lim)2(Re22------(2分)故4412214214022iixdxxdx------(2分)6.解偏微分方程0:0;4txxttuuttxuu。解：做未知函数变换将方程齐次化。令24633xtvu，代入方程和初始条件得04xxttvv；24:03xvt，0tv------(4分)由达朗贝尔公式得])2()2[(481]24)2(24)2([21),(3333txtxtxtxtxv-------------(4分)最后)3(21])2()2[(48124623333txttxtxxtu----(2分)7.已知l阶勒让德多项式)(xPl的表达式为lllllxdxdlxP)1(!21)(2计算dxxP1122)(。解：1321)(22xxP------(4分)52)3659(21)169(42)]13(21[)(|1025210422111122xxxxxdxxxdxxdxxP--------(6分)第6页共6页三、证明题(每题8分，共8分)得分评阅人1.函数)(xf的傅里叶变换为)(F，试证明)(0xxf的傅里叶变换为)(0Fexi。证明：由于函数)(xf的傅里叶变换dxexfFxi)(21)(，-----(2分)则)(0xxf的傅里叶变换为)(])(21[)(21)(21)]([)(000)(00FedyeyfedyeyfdxexxfxxfFGxiyixixyixi----(2+2+1+1=6分)