2018年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第21讲两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理

三角函数、解三角形第三章第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲要求考情分析命题趋势1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2016，全国卷Ⅱ，9T2016，全国卷Ⅲ，5T2016，江苏卷，15T2016，四川卷，11T三角恒等变换是三角变换的工具．主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值．可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.分值：5～12分板块一板块二板块三栏目导航板块四•1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式•sin(α±β)＝_________________________；•cos(α±β)＝_______________________；•tan(α±β)＝_______________________.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ•2．二倍角的正弦、余弦、正切公式•sin2α＝____________________；•cos2α＝__________________＝_______________＝__________________；•tan2α＝___________________.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α3．有关公式的逆用、变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝___________，sin2α＝____________；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4；(4)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)tanφ＝ba.1＋cos2α21－cos2α21．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()√√×√解析：(1)正确．对于任意的实数α，β，两角和与差的正弦、余弦公式都成立．(2)正确．取β＝0，因为sin0＝0，所以sin(α＋0)＝sinα＝sinα＋sin0.(3)错误．变形可以，但不是对任意角α，β都成立．α，β，α＋β≠kπ＋π2，k∈Z.(4)正确．当α＝kπ(k∈Z)时，tan2α＝2tanα.2．若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C．13D．23解析：因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.C3．sin34°sin26°－cos34°cos26°的值是()A．12B．32C．－12D．－32解析：sin34°sin26°－cos34°cos26°＝－(cos34°cos26°－sin34°sin26°)＝－cos(34°＋26°)＝－cos60°＝－12.C4．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是_______.解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－12.又α∈π2，π，∴sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.35．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝_______.解析：∵tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，即tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3.3•三角函数式化简的常用方法•(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．•(2)统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．•一三角函数的化简求值【例1】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．解析：(1)由θ∈(0，π)，得0θ2π2，∴cosθ20，∴2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cosθ2.又(1＋sinθ＋cosθ)sinθ2－cosθ2＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2＝2cosθ2sin2θ2－cos2θ2＝－2cosθ2cosθ.故原式＝－2cosθ2cosθ2cosθ2＝－cosθ.(2)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.•二三角函数的条件求值•解三角函数求值问题的一般步骤•(1)解给值求值问题的一般步骤：•①化简条件式子或待求式子；•②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；•③将已知条件代入所求式子，化简求值．•(2)解给值求角问题的一般步骤：•①求角的某一个三角函数值；•②确定角的范围；•③根据角的范围写出所求的角．【例2】(1)(2017·安徽合肥联考)已知α，β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，则cosβ＝_______.(2)(2015·广东卷)已知tanα＝2，求值：①tanα＋π4；②sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1.12解析：(1)∵α为锐角，∴sinα＝1－172＝437.∵α，β∈0，π2，∴0α＋βπ.又∵sin(α＋β)sinα，∴α＋βπ2，∴cos(α＋β)＝－1114.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.(2)①tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.②sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×24＋2－2＝1.【例3】(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A．3π4B．5π4C．7π4D．5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为_______.C－3π4解析：(1)∵α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝220.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈3π2，2π，∴α＋β＝7π4.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.•三三角恒等变换与三角函数的综合问题•三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式子化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究性质．在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题．【例4】已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋23sinωxcosωx(0ω1)，直线x＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g2α＋π3＝65，α∈0，π2，求sinα的值．解析：(1)f(x)＝cos2ωx＋3sin2ωx＝2sin2ωx＋π6，由于直线x＝π3是函数f(x)＝2sin2ωx＋π6的图象的一条对称轴，所以sin2π3ω＋π6＝±1，因此2π3ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝32k＋12(k∈Z)，又0ω1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sinx＋π6.由2kπ－π2≤x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－2π3≤x≤2kπ＋π3(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ－2π3，2kπ＋π3(k∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin12x＋2π3＋π6，即g(x)＝2cosx2，由g2α＋π3＝2cos122α＋π3＝2cosα＋π6＝65，得cosα＋π6＝35，又α∈0，π2，故π6α＋π62π3，所以sinα＋π6＝45，所以sinα＝sinα＋π6－π6＝sinα＋π6·cosπ6－cosα＋π6·sinπ6＝45×32－35×12＝43－310.•1．计算sin20°cos70°－cos160°sin70°的值为()•A．0B．－sin50°C．1D．－1•解析：原式＝sin20°cos70°－cos(180°－20°)sin70°＝sin20°·cos70°＋cos20°sin70°＝sin(20°＋70°)＝sin90°＝1.C2．(2017·四川成都模拟)已知锐角α满足cos2α＝cosπ4－α，则sin2α＝()A．12B．－12C．22D．－22解析：由cos2α＝cosπ4－α，得(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝22(cosα＋sinα)，由α为锐角知cosα＋sinα≠0.所以cosα－sinα＝22，平方得1－sin2α＝12.所以sin2α＝12.A3．已知cosπ4＋θcosπ4－θ＝14，则sin4θ＋cos4θ的值等于()A．34B．56C．58D．32解析：因为cosπ4＋θcosπ4－θ＝22cosθ－22sinθ22cosθ＋22sinθ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12cos2θ＝14.所以cos2θ＝12，所以sin4θ＋cos4θ＝1－cos2θ22＋1＋cos2θ22＝116＋916＝58.C4．设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝_______.解析：因为tanθ＋π4＝12，所以tanθ＝tanθ＋π4－π4＝tanθ＋π4－tanπ41＋tanθ＋π4tanπ4＝12－11＋12×1＝－13，即sinθ＝－13cosθ，又因为sin2θ＋cos2θ＝1，－105所以19cos2θ＋cos2θ＝1，cos2θ＝910，