《光学教程》第五版 姚启钧 第四章 光的衍射

第四章光的衍射•4.1光的衍射现象•4.2惠更斯—菲涅耳原理•4.3菲涅耳波带(菲涅耳带）•4.4菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）•4.5菲涅耳波带片•4.6夫琅禾费单缝衍射•4.7夫琅禾费双缝衍射•4.8平面衍射光栅•4.9晶体对X射线的衍射•4.10夫琅禾费圆孔衍射•4.11助视仪器的分辨本领•4.12分光仪器的分辨本领4.1光的衍射现象*S衍射屏观察屏a~a衍射屏观察屏LLS光的衍射现象定义:光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫光的衍射。4.2惠更斯—菲涅耳原理4.2.1惠更斯原理波前（波阵面）上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在后一时刻这些次波的包络面就是新的波前。波阵面：某一时刻同位相各点的集合。*局限：不能解释干涉现象、不能定量解释衍射现象，也不能解释无倒退波现象发生。·PdE(P)rQdSSn·波面S上每个面积元dS都可看成新的波源，它们均发出次波。波传播方向上某一点P的振动可由S面上所有面积元发出的次波在该点叠加后的合振动来表示。面元dS发出的各次波的位相满足：1.S上各面元位相相同；2.次波在P点引起的振动的振幅与r成反比；3.次波在P点的位相由光程Δ决定。4.2.2惠更斯—菲涅耳原理波前K()：方向因子A(Q)取决于波面上Q点处的强度。=0，K=KmaxK()90o，K=0a.波面在P点产生的振动SkrtrQAKpEdcos)()()(d)cos(d)()(dkrtSrQAKCpESPdEEdSkrtrQAKCScos——菲涅耳衍射积分b.分类（1）菲涅耳衍射（2）夫琅禾费衍射L和D中至少有一个是有限值。L和D皆为无限大（也可用透镜实现）。*SPDLB光源障碍物观察屏平行光4.3菲涅耳半波带4.3.1菲涅耳半波带在点光源的波面上，分一个个环带，相邻环带到达P点的位相相反，称菲涅耳半波带。—菲涅耳半波带（简称半波带）2212201rrrrSkrtrQAKpEdcos)()()(doPB0B1Rr0rkr1如果任何相邻两带到达P点的光程差为相邻两带位相差为π4.3.2P点合振幅的计算a1,a2,…,akkkPaaaaaA143211...kkrdSKa)(krSKoPB0B1Rr0rkr1表示各半波带发出的次波在P点所产生的振幅。合振幅：由惠更斯—菲涅耳原理212222221...332211kakaaaaaaPA222211kkaaaa21211kkPaaA0rRRrSk∴仅与方向因子K(θ)有关K(θ)↑，ak↓→kaaa...21k为奇数k为偶数由三角函数关系与k无关ak合振幅可写为：4.4菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）4.4.1圆孔衍射21211kkPaaA)1(20krrk)2(2R)r2(R)hr2(Rr-r200202kρ2=R2-(R-h)2=2Rh-h2ρ2=r2k-(r0+h)2=r2k-r20-2r0h-h2oPB0B1Rr0rkr1略去由菲涅耳半波带，振幅：)3(2220000202krkkrrrrrrrkkkRrRkr2000112rRk∴P点光强性质：1.改变ρ或移动观察屏(改变P)，光强强弱变化；,21aAP;421aIP2.当ρ→∞(自由传播),k→∞,ak→0,3.圆孔非常小，使k=1,,1aAP;21aIP4.R→∞平行光入射.0kkr(4)由（1）式合并(2)、(3)式，得圆孔的衍射图样：屏上图形：孔的投影菲涅耳衍射夫琅禾费衍射P点合振幅为：...2222...22114321kkkkkkkkPaaaaaaaaA21ka如果圆屏足够小，只遮住中心带的一小部分，观察屏中心为一亮点（泊松点）。4.4.2圆屏衍射圆屏衍射泊松点若衍射屏对于考察点设计成只让奇数或偶数半波带透光，则考察点处P的合振动为：kkPaA12kkPaA2且考察点为亮点，类似于透镜成像，同时公式(4)可写为：krR201114.4.3菲涅耳波带片或0112rRk如果合振动的振幅为相应各半波带在考察点所产生的振幅之和，这样的光学元件叫做波带片。kf2'焦距：'0111frR——与薄透镜物象公式相似1.大小取决于透光孔的半径ρ2.与波长成反比1'f3.存在多个次焦距，如f´/3,f´/5波带片焦距的特点：:2'f例题4-1波长为450nm的单色平面波投射到不透明的屏B上，屏上有半径为0.6mm的圆孔及一与圆孔同心的环形缝，其内外半径分别为mm及mm.求证在距屏B为80cm的屏P上出现的衍射图样中央亮点的强度是屏B不存在的16倍。26.036.0屏B不存在时21aA18001045.06.06202rk6.026.02k36.03k1312aaaA4.6夫琅禾费单缝衍射4.6.1装置和光路4.6.2衍射光强的计算S：单色线光源：衍射角根据惠更斯—菲涅耳原理：P·δSffb透镜L透镜LB缝平面观察屏0A*缝宽bABSkrtrQAKpEdcos)()()(dx则窄带发出次波的振幅为：dxbA0)sin(coscosd000xrktbdxAkrtbdxAEP点合振幅为：dxkxkrtbAdEAbbbbPsincos0022222k令0dxxr0θsin2sin,0kkrt假设将缝分成一组窄带，窄带宽度dx。且设A0为整个狭缝发出的次波在θ=0方向上的合振幅。窄带传播到P点的振幅为：P点的光强为：∴令sinbu220sinuuIIP0sinsinsin0krtibbPeAA或dxxbAAbbPcos220sinsinsincos00bbkrtA2200sincossinsincoscos22bbxbAdxxxbAbb4.6.3单缝衍射花样1b2bb0相对光强曲线sin0.0470.017I/I00.0470.017b21.主最大（中央明纹中心）位置：，sin20uuII00u处，1sinuumax0III即为几何光学像点位置由可得到以下结果：2.极小(暗纹)位置:,2,1sinkkub，0sinu0I3.次极大位置：uutg0dduIu02--2yy1=tguy2=u-2.46·-1.43·+1.43··+2.460·…，，，47.346.243.1u…,47.3,46.2,43.1sinbkbsin且满足解得：相应：衍射花样特点：2.条纹不等间隔;1.平行于光源的亮暗直条纹，中央主最大光强最大，次最大光强远小于主最大的值，且随着级数的增大而很快减小；3.白光作为光源，中央仍为白色,次最大形成彩色条纹。中央主最大条纹角宽度为暗条纹等间距,间距为次最大间则是不等间隔的；b2bsin单缝衍射图样讨论题1、增大观察屏前透镜的焦距(观察屏仍在焦平面上)2、前后移动衍射屏(单缝)3、上下移动衍射屏（单缝）4、上下移动缝光源，sin20uuII与焦距无关，但位置x=f’tgθ,条纹增宽不变不变，同样衍射角的光仍会聚于同一地方衍射花样下上移动（反方向平移，衍射主最大位于光源的几何光学成像位置）当单缝衍射装置有如下变动时，衍射图样的变化4.7夫琅禾费圆孔衍射P点光强：(具体推导参见附录2.2)...!341!231211232220mmmIIsinRm其中,圆孔孔径D中央亮斑(爱里斑)1fL观察屏爱里斑相对光强曲线1.22(/D)sin1I/I00与单缝衍射光强分布相似，但为圆条纹。衍射屏84%的能量1.衍射图样为同心的明暗相间的圆环衍射条纹特点：2.中心亮斑称为爱里斑半角宽度:DR22.161.00D:为圆孔直径4.8平面衍射光栅任何具有空间周期性的衍射屏都可叫做衍射光栅光栅是由大量的等宽等间距的平行狭缝或(反射面)组成4.8.1光栅a.定义b.光栅的种类反射光栅透射光栅dd根据制作可分为：刻划光栅和全息光栅c.光栅常数b透光（或反光）部分的宽度d=a+b光栅常数用电子束刻制可达数万条/mm(d10-1m)。光栅常数是光栅空间周期性的表示a不透光(或不反光）部分的宽度普通光栅刻线为数十条/mm数千条/mm，ba4.8.2夫琅和费双缝衍射Iθθ每个缝的衍射光重叠bdf透镜θ相干叠加12PP点处的振动：,sin01uuAAuuAAsin022cos4cos22212122212AAAAAAsin22d由双缝干涉得：d强度：I/4A02)(sinb-2-1012单缝衍射双缝干涉双缝衍射强度受单缝衍射因子调制的双缝干涉花样。d=3bvuuAI2220cossin4sinbusin2dv1.干涉主最大位置,...2,1,0,sinKKd2.最大光强为：204A3.缺级：,sin'Kb'KbdK,...2,1'K4.中央主最大中条纹数光强分布：衍射花样：a.衍射的强度分布单缝衍射多缝干涉sinsin22buuusinsinsin22dvvNv｝共同作用的结果vNvuuII22220sinsinsinb.衍射花样：(1)平行于缝的明暗相间的条纹，其强度受单缝衍射因子调制.(2)最大光强为单缝衍射的N2倍.4.8.3多缝衍射—光栅(3)缺级：'KbdK,...2,1'K(4)干涉主最大之间存在N-1个极小，N-2个次最大N大,条纹为暗的背景下锐细的亮线，这种条纹称为光谱线。Issin0I0s-2-112(/b)IN2I0单sin048-4-8(/d)主极大缺±4,±8级N=4d=4b多缝衍射光强曲线单缝衍射轮廓线单缝衍射和多缝衍射干涉的对比（d=10b）19个明条纹缺级缺级c.光栅方程平行光垂直入射光栅表面所产生的光谱线位置可表示为：,...2,1,0sinKKd光栅方程谱线的级数斜入射光栅方程：Kd0sinsindsinopf观察屏Lλ光栅dsinθ002,1,0kθ0和的符号规定:“+”:θ0和在法线同侧时“-”:θ0和在法线异侧时d.光栅光谱(1)光栅的角色散cosdKddD白光入射到光栅上,观察屏上出现彩色条纹——光栅光谱Kdsin定义：单位波长间隔所散开的角度。nθ0入射光衍射光光栅（+）（-）角色散特点：KD零级条纹无色散，一级以后有色散，紫在内侧，红在外侧.21)1(sinKKddD1观察屏上看到的为线色散：cos''dfKDfDl▲▲▲光谱的重叠▲▲角色散和线色散都与光栅缝数N无关d越小，色散越大；(2)谱线的半角宽度干涉主最大满足：定义：从主最大的中心到其一侧相邻最小值之间的角距离KdvsinNKdNNvsin相邻最小值：1sin''NKdNNv｝,sinsin'Nd→'Nd/cossinsin两式相减：∴KKNdcos则,,KN谱线变细；▲,,KNd谱线变细；▲,,cos,,KKKK谱线变宽。▲说明了:KKNdcos例题２：