2017-2018学年安徽省合肥一中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x-1≤x＜8}，N={＞4}，则M∪N=（）A.(4,+∞)B.[−1,4)C.(4,8)D.[−1,+∞)2.函数𝑦=𝑥𝑙𝑛(𝑥+2)的定义域为（）A.(−2,+∞)B.(−2,−1)∪(−1,+∞)C.(12,1)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)3.已知函数y=sin（2x+φ）在x=𝜋6处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A.关于点(𝜋6,0)对称B.关于点(𝜋3,0)对称C.关于直线𝑥=𝜋6对称D.关于直线𝑥=𝜋3对称4.已知a=2-1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A.𝑐𝑏𝑎B.𝑐𝑎𝑏C.𝑎𝑏𝑐D.𝑎𝑐𝑏5.若将函数f（x）=12sin（2x+𝜋3）图象上的每一个点都向左平移𝜋3个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A.[𝑘𝜋−𝜋4,𝑘𝜋+𝜋4(𝑘∈𝑍)B.[𝑘𝜋+𝜋4,𝑘𝜋+3𝜋4(𝑘∈𝑍)C.[𝑘𝜋−2𝜋3,𝑘𝜋−𝜋6(𝑘∈𝑍)D.[𝑘𝜋−𝜋12,𝑘𝜋+5𝜋12(𝑘∈𝑍)6.对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（）A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.无法判断7.已知函数f（x）=x2•sin（x-π），则其在区间[-π，π上的大致图象是（）A.B.C.D.8.已知𝑎⃗⃗=（2sin13°，2sin77°），𝑎⃗⃗-𝑏⃗=1，𝑎⃗⃗与𝑎⃗⃗-𝑏⃗的夹角为𝜋3，则𝑎⃗⃗•𝑏⃗=（）A.2B.3C.4D.59.（理）设点𝑃(𝑡2+2𝑡，1)(𝑡≠0)是角α终边上一点，当𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗最小时，sinα-cosα的值是（）A.−√55B.3√55C.√55或−3√55D.−√55或3√5510.已知函数f（x）={𝑙𝑜𝑔2017𝑥,𝑥1𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥,0≤𝑥≤1，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A.(1,2017)B.(1,2018)C.[2,2018D.(2,2018)11.已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗•𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是（）A.[−34,0)B.[−1,1)C.[−12,1)D.[−1,0)12.已知α∈[𝜋2，3𝜋2，β∈[-𝜋2，0，且（α-𝜋2）3-sinα-2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（𝛼2+β）的值为（）A.0B.√22C.12D.1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为4，若f（-1）=2，且函数的则f（2017）的值为______．14.已知定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（−12）=0，则不等式f（log4x）＞0的解集是______．15.已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=4，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=8，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且x+2y=1，∠AOB是钝角，若f（t）=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑡𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为2√3，则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是______．16.已知函数f（x）=2sin（2x+𝜋6），记函数f（x）在区间[t，t+𝜋4上的最大值为Mt最小值为mt，设函数h（t）=Mt-mt，若t∈[𝜋12，5𝜋12，则函数h（t）的值域为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={xm-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁RA）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．18.已知sin（π-α）-cos（π+α）=√23，(𝜋2＜𝛼＜𝜋)．求下列各式的值：（1）sinα-cosα；（2）𝑠𝑖𝑛2(𝜋2−𝛼)−𝑐𝑜𝑠2(𝜋2+𝛼)．19.函数f（x）=loga（1-x）+loga（x+3）（0＜a＜1）．（1）求函数f（x）的零点．（2）若函数f（x）的最小值为-2，求a的值．20.如图，在平面直角坐标系中，点𝐴(−12，0)，𝐵(32，0)，锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）当𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=−14时，求α的值；（Ⅱ）在轴上是否存在定点M，使得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）=log4（4x+1）．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若函数h（x）=f（x）-12𝑙𝑜𝑔2(𝑎⋅2𝑥+2√2𝑎)(𝑎＞0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．22.已知f（x）=ax2-2x+2，a∈R（1）已知h（10x）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；（2）若f（x）＞0在x∈[1，2恒成立，求a的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x），若对任意x1，x2∈[1，2，且x1≠x2，满足𝐹(𝑥1)−𝐹(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞0，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合M={x-1≤x＜8}，N={＞4}，∴M∪N={≥-1}=[-1，+∞）．故选：D．由已知条件，利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2.【答案】B【解析】解：由，解得x＞-2且x≠-1．∴函数的定义域为（-2，-1）∪（-1，+∞）．故选：B．由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，故选：A．由题意可得sin（+φ）=1，故有cos（+φ）=0，由此可得函数y=cos（2x+φ）的图象特征．本题主要考查正弦函数和余弦函数的图象，同角三角函数的基本关系，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：a=2-1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b＞c．∴b＞c＞a．故选：D．a=2-1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b＞c．即可得出．本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+=-sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2π+≤2x≤2π+，求得π+≤x≤π+，故函数g（x）的单调递增区间为[π+，π+，∈，故选：B．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性函数g（x）的单调递增区间．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：函数y=f（x）在区间[a，b上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”∴函数f（x）在区间[a，b上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=，函数不是列出函数，定义域为R，没有零点．则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．故选：D．函数y=f（x）在区间[a，b上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”根据零点定理f（x）在区间[a，b上至少有一个零点．本题考查零点的存在性定理，属于一道基础题．7.【答案】D【解析】解：f（x）=x2•sin（x-π）=-x2•sinx，∴f（-x）=-（-x）2•sin（-x）=x2•sinx=-f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=-＜0，故选：D．先判断函数的奇偶性和，再令x=时，f（）=-＜0，问题得以解决．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值得特点，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：=（2sin13°，2sin77°）=（2sin13°，2cos13°），=2，-=1，与-的夹角为，所以==-，1=4-，∴•=3，故选：B．利用向量的模以及向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．9.【答案】D【解析】解：∵∈（-∞，-2∪[2，-∞）故当=±2时，最小当=-2时，sinα-cosα=-（-）=当=2时，sinα-cosα=-=-故选：D．利用基本不等式，我们可以求出的范围，进而我们可以确定出当最小时，P点的坐标，进而求出sinα与cosα的值，代入sinα-cosα即可得到答案．本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，基本不等式，其中根据基本不等式，求出的范围，是解答本题的关键，在解答中，易忽略t可能小于0，而导致可能小于等于-2，而只考虑正值的情况，而错选A10.【答案】D【解析】解：作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．本题考查代数和的取值范围，是中档题，解题时要认真审题，注意函数对称性性质的合理运用．11.【答案】A【解析】解：如图，∵OA=OB=1，∠AOB=120°；∴O到直线AB的距离d=；∴；∴==；∴；∴的取值范围为．故选A．先根据条件画出图形，根据条件可求出，并求出，，而，，带入并进行数量积的运算便可得到，这样便可得出的取值范围．考查单位圆的定义，数形结合解题的方法，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，不等式的性质．12.【答案】B【解析】解：∵（α-）3-sinα-2=0，可得：（α-）3-cos（）-2=0，即（-α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，，β∈[-，0，∴∈[-π，0，2β∈[-π，0可知函数f（x）在x∈[-π，0是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．构造思想，转化为函数问题，零点与方程的根的关系，利用单调性找出α，β的关系，求解即可．本题主要考查了函数的转化思想，零点与方程的根的关系，单调性的运用．属于偏难的题．13.【答案】-2【解析】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数且f（-1）=2，∴f（1）=-2，又∵函数的周期为4，∴f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=-2，故答案为：-2根据定义在R上的奇函数定义可知，且f（-1）=-f（1），进而根据函数的周期为4，可得f（2017）=f（1），代入可求．本题考查的知识点是函数的值，函数的奇偶性，函数的周