第三章 线性系统的时域分析

自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院主要内容：典型输入信号线性定常系统的时域响应控制系统时域响应的性能指标一阶系统的暂态响应二阶系统的暂态响应高阶系统的暂态响应第三章线性系统的时域分析自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院根据时域响应建立数学模型先行系统的稳定性劳斯－赫尔维茨稳定判据小参量对闭环控制系统性能的影响控制系统的稳态误差给定稳态误差和扰动稳态误差线性系统时域响应的计算机辅助分析自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院第一节典型输入信号当A=1时称为单位阶跃函数,其数学表达式为0100)(1)(ttttrSAsR)(一．阶跃函数A000)(tAttrSAsR)(t)(tro自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院当A=1时称为单位斜坡函数,其数学表达式为000)(ttttr21)(SsR二．斜坡函数t)(tr000)(tAtttr2)(SAsRo自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为02100)(ttttr31)(SsR三．抛物线函数t)(tr000)(2tAtttr32)(SAsRo自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院当A=1时称为单位脉冲函数,其数学表达式为1)(0000)()(dtttttttr及1)(sR四．脉冲函数AtAtttr000)(及AsR)(t)(tro自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院五．正弦函数0sin00)(ttAttr22)(SsR自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院第二节线性定常系统的时域响应一．时域响应的概念控制系统模型建立后，就可以分析控制系统的性能。时域分析就是研究系统的动态性能和稳态性能，动态性能可以通过在典型输入信号控制系统的过渡性能来评价。稳态性能则是根据在典型输入信号作用下系统的稳态误差来评价。)()()()()()()()(111101111trbtrtddbtrtddbtrtddbtcatctddatctddatctddmmmmmmnnnnnn)()()(21tctctc微分方程的解齐次方程通解特解自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院电网络分析网络响应=暂态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量）系统响应=零状态响应+零输入响应利用拉氏变换解微分方程二．单位阶跃响应与单位脉冲响应单位阶跃响应：如给定输入r(t)为单位阶跃函数,系统的输出即为单位阶跃响应，一般用h(t)表示。单位脉冲响应：如给定输入r(t)为单位脉冲函数,系统的输出即为单位脉冲响应，一般用g(t)表示。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院单位脉冲响应单位阶跃响应求导单位阶跃响应的特点：阶跃输入对系统来说是最严格的工作状态，如果系统在阶跃作用下的动态性能满足要求，系统在其它输入信号作用下，其动态性能一般满足要求。单位脉冲响应的特点：系统的脉冲响应中只有暂态响应，而稳态响应总是为零，也就是说不存在与输入相对应的稳态响应。所以系统的脉冲响应更能反映系统的暂态性能。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院第三节控制系统的暂态响应的性能指标系统的阶跃响应:1.强烈振荡过程2.振荡过程3.单调过程4.微振荡过程时间响应稳态响应瞬态响应：系统在某一输入信号作下，其输出量从初始状态到进入稳定状态前的响应过程。一、暂态响应的概念自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院评价系统快速性的性能指标评价系统平稳性的性能指标评价系统准确性的性能指标二、暂态响应性能指标自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院评价系统快速性的性能指标自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院上升时间tr:(1)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。(2)对无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。峰值时间tp:响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。调整时间ts:响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的±2%或±5%）内所需的时间。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院最大超调量Mp：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：%100)()()(cctcMpp振荡次数N：在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。评价系统平稳性的性能指标自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院02)(dtteJISE（平方误差积分）02)(dttteJITSE（时间乘平方误差的积分）0|)(|dtteJIAE（绝对误差积分）0|)(|dttetJITAE（时间乘绝对误差的积分）评价系统准确性的性能指标自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院第四节一阶系统的瞬态响应11)()(TssRsC一阶系统的形式闭环极点(特征根)：-1/T自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院一阶系统的单位阶跃响应ssR1)(11111)(TsTssTssC01)(1tetctT性质：1）T暂态分量瞬态响应时间极点距离虚轴2）T暂态分量瞬态响应时间极点距离虚轴自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院时间增长，无稳态误差自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院TeTdttdcttTt1|1|)(010t=Tc(t)=63.2%实验法求Tt=3Tc(t)=95%允许误差5%调整时间ts=3Tt=4Tc(t)=98.2%允许误差2%调整时间ts=4T一阶系统的单位阶跃响应的斜率:自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院判别系统是否为惯性环节测量惯性环节的时间常数)(11tcetTtTetc11)()](1ln[1tctTln[1-c(t)]与时间t成线性关系:自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院0)(1tTeTttctT21)(ssRTsTsTssTssC11111)(22一阶系统的单位斜坡响应自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院性质：1）经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同；2）输出相对于输入滞后时间T；3）稳态误差=T。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院01)(1teTtctT1)(sRTsTTssC11111)(只包含瞬态分量！！！一阶系统的单位脉冲响应自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院闭环极点（特征根）：-1/T衰减系数：1/TtTeTtc11)(tTTeTttc1)(tTetc11)(1)(sR21)(ssRssR1)(自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院tTeTtc11)(tTTeTttc1)(tTetc11)(1)(sR21)(ssRssR1)()()(ttr1)(trttr)(对于一阶系统输入信号微分响应微分输入信号积分响应积分积分时间常数由零初始条件确定。线性定常系统的一个性质自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度计的稳态指示误差是多少？解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达98%，费时4T=1分，则T=0.25分。一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T，故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误差为10T=2.5度。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位斜坡响应第五节二阶系统的瞬态响应二阶系统的单位阶跃响应二阶闭环系统模型具有零点的二阶系统的响应二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院2222)()(nnnsssRsC0222nnss1221nn、P系统的特征方程闭环特征方程根（闭环极点）2211nn、jPn、P211221nn、Pn、jP21欠阻尼：01临界阻尼：=1过阻尼：1无阻尼：=0一、二阶闭环系统模型自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院二、二阶系统的单位阶跃响应4、无阻尼：=01、欠阻尼：012、临界阻尼：=13、过阻尼：16、几点结论5、负阻尼：0自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院欠阻尼：01dnnn、jjP22112222)()(nnnsssRsC21nd)sin(11)(2tetcdtn(t0)阻尼自然频率ssR1)(211tg自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院无稳态误差；含有指数衰减振荡项:其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定,振荡幅值随ξ减小而加大。21nd衰减系数：n211tg自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院无阻尼：=0n、jP212222)()(nnnsssRsC(t0)ttcncos1)(无阻尼的等幅振荡稳定边界：无阻尼自然频率nssR1)(自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院临界阻尼：=1n、P212222)()(nnnsssRsC(t0))1(1)(tetcntnssR1)(系统包含两类瞬态衰减分量单调上升，无振荡、无超调、无稳态误差。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院过阻尼：11221nn、P2222)()(nnnsssRsCssR1)((t0)ttnneetc)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(系统包含两类瞬态衰减分量单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院负阻尼（ξ0）-1ξ0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。ξ-1振荡发散单调发散1221nn、P2222)()(nnnsssRsC自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院几点结论：1）二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性：ξ0时，阶跃响应发散，系统不稳定；ξ=0时，出现等幅振荡0ξ1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重，但响应愈快，ξ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长；自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院3）控制系统的阻尼比选择工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院过阻尼：12222)()(nnnsssRsC(t0)1)(sR欠阻尼：01无阻尼：=0临界阻尼：=1tetcdtnnsin1)(2ttcnnsin)(tnntetc2)()(12)()1()1(222ttnnneetc三、二阶系统的单位脉冲响应自动控制理论第三章山东理工大学交通与车辆学院过阻尼：12222)()(nnnsssRsC(