第11章 应力状态分析 强度理论

第11章应力状态分析强度理论1平面应力状态分析2极值应力与主应力3复杂应力状态的最大应力4广义胡克定律本章主要内容第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念一、问题的提出：为什么要研究一点的应力状态和强度理论？1、轴向拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁的强度条件：11.1一点的应力状态概念][max][max许用应力由测得的极限应力比上大于1的安全因子得到的，没有考虑材料失效的原因，也没有必要考虑材料失效的原因。2、同一截面上不同点的应力是不相同的；通过同一点的不同方位的截面上应力不同。轴向拉伸时斜截面上的应力FkkFpα2coscospsinsin22p斜截面α方向上的应力：(1)=00时，(2)=450时，(3)=-450时，(4)=900时，max2max2min00,通过同一点所取截面方位不同，应力的大小也不同第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念为什么可以建立强度条件呢？对于轴向拉压及平面弯曲中的正应力，由于杆件危险点横截面上的正应力是通过该点所有方位截面上正应力的最大值，而且是单向应力状态，所以可将其与材料在单向拉伸(压缩）时的许用应力比较建立强度条件。][max][max第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念3、但是以上强度条件并非万能，对于构件内既有正应力又有切应力的点，不能用以上两个强度条件，需综合考虑正应力与切应力的影响。（不是所有的应力状态上述强度条件都能解决）][max][max543214、对于既有正应力又有切应力的点，需要研究通过该点，各不同方位截面上应力的变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。（即研究一点的应力状态）第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念两个特殊应力状态的强度条件：5、对于复杂应力状态，需探求材料破坏的规律，确定材料破坏的共同因素，则可通过较简单的应力状态下的试验结果，来确定该共同因素的极限值，从而建立相应强度条件。（即需要研究强度理论）复杂应力状态：应力的组合有无限多的可能性，不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念故如果我们再用实验测得的极限应力比上安全因子得到许用应力显然不合适。低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如左图及右图所示，脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开!(a)低碳钢(b)铸铁低碳钢和铸铁的扭转实验不同的材料在相同的受力情况下，失效的原因是不一样的第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念相同材料在不同的受力情况下，失效的原因是不一样的二、应力状态的概念一点的应力状态：通过构件内一点不同方位截面上的应力情况，称为这点的应力状态。三、应力状态的表示方法1、单元体：构件内点的代表物，是围绕被研究点的无限小的正六面体。任意一对平行平面上的应力相等，且代表通过所研究的点并与上述平面平行的面上的应力2、单元体特征单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念单元体6个面上的应力就代表通过所研究的点的三个互相垂直截面上的应力第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念画出下列图中A、B、C点的已知单元体.第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.54321Fl/2l/2Fl/2l/2S截面第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念254321543211x1x1x2x222333同一截面上，不同点上的应力不同第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念3、主平面：单元体中切应力为零的平面4、主应力：主平面上的正应力三个主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即：321第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念5、主单元体：一般情况下构件内每一点都可以找到相互垂直的主平面和与之对应的主应力，这个单元体称为主单元体四、应力状态的分类1、空间应力状态三个主应力1、2、3均不等于零2、平面应力状态三个主应力1、2、3中有两个不等于零3、单向应力状态三个主应力1、2、3中只有一个不等于零312231221111第11章应力状态分析强度理论11.1一点的应力状态的概念平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy和y,yx§11-2平面应力状态分析主应力xxyzyxyyxxyxyyx第11章应力状态强度理论在微单元体的六个侧面上，仅在四个侧面作用有应力，而且这些应力的作用线均平行于微单元体不受力表面，这种应力状态称为平面应力状态。11.2平面应力状态分析主应力一、任意斜截面上的应力1、截面法假想地沿斜截面ef将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf作为研究对象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnα第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力xyaxxyxxyefn(1)由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正（2)正应力仍规定拉应力为正（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正2、符号的确定efaxxyyxyαααnα第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力设斜截面的面积为dA,ae的面积为dAcos,af的面积为dAsinefaxxyyxyαααnα3、任意斜截面上的应力对研究对象列n和t方向的平衡方程得:00sin)sind(cos)sind(cos)cosd(sin)cosd(dAAAAAFyyxxxyn第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力xyaxxyxxyefn2222222cossinsincosxyyxxyyxyx00cos)sind(sin)sind(sin)cosd(cos)cosd(dAAAAAFyyxxxyt考虑切应力互等和三角变换化简以上两个平衡方程最后得：不难看出yx90即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力二、最大正应力及方位1、最大正应力的方位令2222222cossinsincosxyyxxyyxyx02222]cossin[xyyxddyxxytg22090000和0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力2、最大正应力利用2222sincosxyyxyx得到max和min(主应力）2222xyyxyx)(minmax极值正应力就是主应力！第11章应力状态强度理论下面还必须进一步判断0是x轴与哪一个主应力间的夹角!11.2平面应力状态分析主应力yxxytg220求出sin2a0和cos2a0带入下列公式:第11章应力状态强度理论进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角!2222xyyxyx)(minmax2222sincosxyyxyxyxxytg22011.2平面应力状态分析主应力(1)当xy时，0是x与max之间的夹角(2)当xy时，0是x与min之间的夹角(3)当x=y时，0=45°，主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来.则确定主应力方向的具体规则如下:若约定|0|45°即0取值在±45°范围内第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力三、最大切应力及方位2222222cossinsincosxyyxxyyxyx1、最大切应力的方位02222]sincos[xyyxdd令xyyx221tan90111和1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力2、最大切应力将代入公式：222cossinxyyx得到max和min222xyyx)(minmaxxyyx221tanyxxy220tan比较和可见10212tantan4,2220101第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力xyyx221tan即极值切应力所在平面与主平面之间的夹角互呈45度.xyxy例题11-1图示单元体，已知x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa.试求ef截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef(1)求ef截面上的应力MPa.)sin()()cos(sincos3586050602604026040222230xyyxyx第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力MPa.)cos()()sin(cossin31860506026040222030xyyx(2)求主应力和主单元体的方位16040502220)(tanyxxy13545205675220..x=-40MPay=60MPax=-50MPa=-30°因为xy，所以0=-22.5°与min对应第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力MPa7.60MPa7.80)2(222minmaxxyxyxMPa.MPa.7600780321xyxy22.5°13第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力例题11-2简支梁如图所示.已知mm截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为=-70MPa，=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.并讨论其他点的应力状态。AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图50070xyyx,,第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力因为xy，所以0=27.5°与min对应4291070502220.)(tanyxxy5625270..xA0MPaMPa)(minmax96262222xyyxyxMPa,,MPa960263211313第11章应力状态强度理论11.2平面应力状态分析主应力解（1）求主平面方位yxxy220tan90902045450因为x=0＝y，且xy0，例题11-3讨论园轴扭转时的应力状态（求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位）.并分析铸铁试件破坏现象。xy所以0=-45°与max对应。45°（2）求主应力2222xyyxyx)(minmax1=，