6.5 同构及同态

§6.5同构及同态6.5.1同态映射6.5.2同构映射6.5.3同态核6.5.1同态映射定义.设G是一个群，K是一个乘法系统，G到K的一个映射σ说是一个同态映射，如果σ(ab)=σ(a)σ(b)例.设(G，*)，(K，+)是两个群，令σ：xe，x∈G，其中e是K的单位元。则σ是G到K内的映射，且对a,b∈G，有σ(a*b)=e=σ(a)+σ(b)。即，σ是G到K的同态映射.σ(G)={e}是K的一个子群,G～σ(G)。设G是一个群，σ是G到K中的一个同态映射，G’=σ(G)，则G’是一个群，G’的单位元1’就是G的单位元1的映象σ(1)，对任意a∈G，σ(a)-1=σ(a-1)。称G和G′同态，记为G～G′。定理6.5.1例.设(Z，+)为整数加法群，(C*，·)是所有非零复数在数的乘法下作成的群，令σ：nin，n∈Z，其中i是C的虚数单位。则σ是Z到C*内的一个映射，且对m,n∈Z，有σ(m+n)=im+n=im·in=σ(m)·σ(n)。即，σ是Z到C*的同态映射，Z～σ(Z)。σ(Z)={1，-1，i，-i}是C*的一个子群。证明(1)因为G非空，显然G′非空.(2)设a’∈G′，b’∈G′，往证a’b’∈G′。因有a,b∈G,使得a’=σ(a),b’=σ(b)，故按σ的同态性，a’b’=σ(a)σ(b)=σ(ab)，而ab∈G,因而a’b’∈G′。(3)往证G′中有结合律成立：设a’，b’，c’∈G，往证a’(b’c’)=(a’b’)c’。有a,b,c∈G,使得a’=σ(a),b’=σ(b),c’=σ(c)，因群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是σ(a(bc))=σ((ab)c)。按σ的同态性，a’(b’c’)=σ(a)(σ(b)σ(c))=σ(a(bc))(a’b’)c’=(σ(a)σ(b))σ(c)=σ((ab)c)因此，a’(b’c’)=(a’b’)c’。(4)往证G′有左壹而且就是σ(1)，即证对于任意的a’∈G’，有σ(1)a’=a’。因有a∈G,使得a’=σ(a)，按σ的同态性σ(1)a’=σ(1)σ(a)=σ(1a)=σ(a)=a’。(5)往证G’中的任意元素a’有左逆且就是σ(a-1)。因有a∈G,使得a’=σ(a)，由σ的同态性σ(a-1)a’=σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a)=σ(1)。因此，G’做成一个群，G’的壹1’=σ(1)，G’中a’的逆是σ(a-1)。6.5.2同构映射定义.设G是一个群，K是一个乘法系统，σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ(G)上的1-1映射，则称σ是同构映射。称G与σ(G)同构，记成Gσ(G)。例：设（R+，·）是一切正实数在数的乘法下作成的群，（R，+）是实数加法群。令σ：xlogx，x∈R+，则σ是R+到R上的1-1映射，且对a，b∈R+，σ(a·b)=log(a·b)=loga+logb=σ(a)+σ(b)。故σ是R+到R上的同构映射。Logx是以e为底的x的对数，若取σ(x)=log2x，或若取σ(x)=log10x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。例：（R*，·）与（R，+）不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有σ：10，-1a，a≠0。从而，σ(1)=σ((-1)·(-1))=σ(-1)+σ(-1)=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a≠0矛盾。故，原假设不对，（R*，·）与（R，+）不可能同构。例无限循环群同构于整数加法群。证明：设G=（g）是无限循环群，Z为整数加法群，则对a∈G，n∈Z，使得a=gn，令f：an。不难验证f是G到Z上的1-1映射；任取a,b∈G，则存在i,j∈Z，使得a=gi，b=gj，f(gigj)=f(gi+j)=i+j=f(gi)+f(gj),因此，f是G到Z上的同构映射，即GZ。自同构映射定义.设G是一个群，若σ是G到G上的同构映射，则称σ为自同构映射。例.恒等映射，称为恒等自同构映射。例.设（Z，+）是整数加法群，令σ：n-n，n∈Z，则σ是Z的一个自同构映射。例.设G是一个Abel群，将G的每个元素都映到其逆元素的映射σ：aa-1(a∈G）是G的一个自同构映射。6.5.3同态核定义.设σ是G到G′上的一个同态映射，命N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，记为σ-1（1′），即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}则称N为σ的核。第一同态定理定理6.5.2设σ是G到Gˊ上的一个同态映射,于是，σ的核N是G的一个正规子群，对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G,σ(x)=aˊ}是N在G中的一个陪集，因此，Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。证明先证N是G的子群。1）证N非空。因为σ(1)=1ˊ，所以1∈N。2）若a∈N，b∈N，往证ab-1∈N。由σ（a）=1′，σ（b）=1′，可得σ(ab-1)=σ(a)σ(b-1)=σ(a)(σ(b))-1=1’(1’)-1=1’，故ab-1∈N。证明再证N是正规子群，即证对于任意的g∈G，gNg-1N。事实上，σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1)=σ(g)1’σ(g)-1=σ(g)σ(g)-1=1’。故gNg-1N。证明最后证明：若a′∈G′而σ(a)=a′,往证σ-1(a’)=Na。事实上，对任意的b∈G，b∈σ-1(a’)iffσ（b）=a′iffσ(b)(a′)-1=1′iffσ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)=1’iffba-1∈Niffb∈Na引理1设N是群G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN，B=bN，则AB=aNbN=abNN=abN，所以AB也是N的陪集。第二同态定理定理6.5.3设N是群G的正规子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一个群。命σ：a→aN，则σ是G到上的一个同态映射，且σ的核就是N。称为G对于N的商群，记为G∕N。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。GGGG证明首先证明G～1)显然，σ是G到上的映射。2）任取a,b∈G，σ(a)σ(b)=aNbN=abN=σ(ab)，故σ是G到上的同态映射.因此，是一个群。其次证明σ的核是N。因单位元就是N本身，所以，核σ={g∣σ(g)=N,g∈G}={g∣gN=N,g∈G}={g∣g∈N}=N。GGGGG例.设G是整数加法群，N=5G={…,-10,-5,0,5,10,…}，则N是G的正规子群。令为G中N的所有陪集作成的集合：{，，，，}，={…,-10,-5,0,5,10,…}=N=0+N，={…,-9,-4,1,6,11,…}=1+N，……用⊕表示陪集间的加法，则⊕=(1+N)⊕(4+N)=(1+4)+N=N=，在陪集加法下是一个群，若命σ：a→a+N，则σ是G到上的同态映射,且σ的核就是N。0012341G140GG第三同态定理定理6.5.4设σ是G到G′上的一个同态映射，若σ的核为N，则G′G/N。例.设G是整数加法群，σ：x→x（mod5），x∈G，则G′=σ（G）={0，1，2，3，4}是模5的加法群，σ是G到G′上的同态映射。σ的核为N=5G，G∕N=={,,,,}，则G′G∕N。01234证明因为G′的元素和G∕N的元素一一对应，设在这个一一对应之下，G′的元素a′和b′分别对应G∕N的元素aN和bN，其中a′=σ（a），b′=σ（b）：a′aN，b′bN。而且a′b′=σ（ab），可见G′的元素a′b′所对应的G∕N的元素是abN=aNbN：a′b′aNbN。所以G′和G∕N同构。G中子群与G′中子群的关系设σ为群G到G′上的同态映射结论1.若H为G之子群，则H′=σ(H)亦为G′之子群。结论2.若H′为G′之子群，则H=σ-1（H′）亦必为G之子群。证明：显然σ-1（H′）非空，1∈σ-1（H′）；若a，b∈σ-1(H′)，即σ(a),σ(b)∈H′，因H′为子群，故σ(a)σ(b)-1=σ(ab-1)∈H′，因之ab-1∈σ-1（H′）。思考题σ(σ-1(H′))等于H′吗？σ-1(σ(H))等于H吗？结论3.σ-1(σ(H))=HN证明：(1)σ（HN）=σ（H）σ（N）=σ（H），故HNσ-1[σ（H）]；(2)任取a∈σ-1（σ（H）），往证a∈HN。因σ(a)=h′∈σ(H)，又σ(H)为H之映象，故必有h∈H使σ(h)=h′=σ(a)，即σ(h)-1σ(a)=σ(h-1a)=σ(1)，故，h-1a∈N，故a∈HN,σ-1[σ（H）]HN；。总之,σ-1（σ（H））=HN。结论4.若NH，则HN=H,即σ-1(σ(H))=H。证明：（1）因1∈N，故HHN。（2）若NH，则HNHH=H。因此，HN=H。定理6.5.5G与N之间的子群和G′的子群一一对应，大群对应大群，小群对应小群，正规子群对应正规子群。G中子群与G′中子群的关系示意图1G当NHG’-1((H))=HNH’=(H)H1NH’1’G中子群与G′中子群的关系示意图2G若HNH’=(H)G’H1N1‘