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当前位置:首页 > 建筑/环境 > 工程监理 > 2.1.2空间的平行直线与异面直线
2.1.2空间直线与直线之间的位置关系(一)异面直线的概念1.定义不同在任何一个平面内的两条直线,叫做异面直线。思考1、同一平面内的两条直线有几种位置关系?空间中的两条直线有几种位置关系?(1)特点:不相交也不平行;(2)注意:分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线,它们可能是相交,也可能是平行.a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM结论:分别在两个平面内的两条直线可能异面,可能相交,也可能平行。abab2.分类⑴按有无公共点分:⑵按是否共面分:①有且只有一个公共点——相交直线②没有公共点——{平行直线异面直线①在同一平面内——{相交直线平行直线②不同在任一平面内——异面直线3.两条异面直线的三种画法:abab以平面为衬托4.异面直线的判定:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.ABL(1)直接证法:(2)间接证法:根据定义,一般用反证法.反证法所谓反证法就是证明原命题的等价命题----逆否命题,从而间接地证明原命题正确。步骤:(1)假设结论的反面成立;(2)据理推出矛盾;(3)从而断定原结论正确。5.空间四边形顺次连结不共面的四点A、B、C、D,所组成的四边形叫做空间四边形,相对顶点A和C,B和D的连线AC、BD是这个空间四边形的对角线.空间直线与直线之间的位置关系2.1.2例1已知E、F、G、H分别是空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.空间直线与直线之间的位置关系2.1.2教材P46---探究变式(1)EFGH是矩形时,空间四边形ABCD分别满足什么条件?变式(2)EFGH是正方形时,空间四边形ABCD分别满足什么条件?空间直线与直线之间的位置关系2.1.2知识复习(1)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.(2)平行线的传递性性质:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.acbβacb?公理4平行于同一条直线的两直线互相平行(1)已知直线a、b、c,且a∥b,b∥c,则a∥c(2)空间平行直线具有传递性(3)互相平行的直线表示空间里的一个确定的方向(空间平行线的传递性)理解:空间直线与直线之间的位置关系2.1.2(证明空间两条直线平行的方法)例2已知棱长为a的正方体ABCD-A’B’C’D’中,M、N分别为CD、AD的中点。求证:四边形MNA’C’是梯形。NMC'D'B'A'DABC空间直线与直线之间的位置关系2.1.26.异面直线所成的角已知两条异面直线a、b,在空间任取一点O,作a’∥a,b’∥b,a’与b’所成的锐角或直角,叫做异面直线a、b所成的角(或叫做夹角)b′abOa′思考:异面直线所成角的范围是]2,0(空间直线与直线之间的位置关系2.1.2异面直线所成角的范围是]2,0(互相垂直。,则两异面直线若ba,2ba记为111AABC例:空间直线与直线之间的位置关系2.1.2探究:在平面内,垂直与同一条直线的两直线的位置关系如何?在空间呢?平行平行、相交、异面例3在正方体ABCD-A’B’C’D’中①哪些棱所在直线与直线BA’是异面直线?②求直线BA’与CC’的夹角的度数;③哪些棱所在直线与直线AA’垂直?①B’C’、AD、CC’、DD’、DC、D’C’.②.45③AB、BC、CD、DA、A’B’、B’C’、C’D’、D’A’空间直线与直线之间的位置关系2.1.2(1)在此正方体中,有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条是否与这条直线垂直?(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?变式2、若直线a,b分别与直线c所成的角相等,则a,b的位置关系为_____3、分别与两条异面直线相交的两条直线的位置关系为_____4、a,b为异面直线,c//a,则c与b的位置关系为______平行或相交或异面相交或异面相交或异面1.空间两直线平行是指它们()A.无交点B.共面且无交点C.和同一条直线垂直D.以上都不对练习2.在空间,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角()A.相等B.互补C.相等或互补D.既不相等也不互补3.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线,那么它与另一条的位置关系是()A.相交B.异面C.相交或异面或平行D.相交或异面BCD4.如图,是长方体的一条棱,这个长方体中与异面的棱共有()A.3条B.4条C.5条D.6条1AA1AAB5.两条异面直线是指()A.空间两条没有公共点的直线B.平面内一直线与这个平面外的一直线C.分别在两个平面内的两条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线D6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OD1与A1C1所成的角的度数为A1D1C1B1ABCDO900在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a,E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求:①异面直线AD与EF所成角的大小;②异面直线B’C与EF所成角的大小;③异面直线B’D与EF所成角的大小.456090OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.平移法异面直线所成的角的求法:例6:如图正方体AC1,①求异面直线AB1和CC1所成角的大小②求异面直线AB1和A1D所成角的大小D1D1CCB1A1ADD1B1如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?3232例7ABGFHEDC32322思考题:直线a、b、c相交于同一点O,并且a、b、c不共面,点A、Da,点Bb,点Cc,求证:AC与BD是异面直线1.在空间四边形S-ABC中,SA⊥BC且SA=BC,E,F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于()CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900BSABEFG2.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点.且EF=.3求:异面直线AD和BC所成的角..21,21ADPFBCPE且PE//BC,PF//AD解:设P为AC中点,连结EP、FP.则3212322cos222PFPEEFPFPEEPF120EPF∴PE与PF所成的锐角(其补角)就是异面直线BC与AD所成的角.在△PEF中,PE=PF=1,EF=即异面直线AD和BC成600角∴ABCDEFG关于异面直线的范例•1.若E,F,G,H顺次为空间四边形ABCD的四边的中点,且EG=3,HF=4,则•2.AB,CD分别是两条异面直线上的线段,M,N分别是它们的中点,则下列各式成立的是()(A)(B)(C)(D)___22BDAC)(21BDACMN)(21BDACMN)(21BDACMN)(21CDABMN关于异面直线的范例•3.已知直线a和b是异面直线,直线c//a,直线b与c不相交,求证:直线b与c是异面直线.•4.已知过同一点的三条直线a,b,c不共面,求证:BD和AC是异面直线.•5.已知求证:a与b是异面直线cCbBaDaA,,,bAbAa,,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系6.课堂小结异面直线的求法:一作(找)二证三求异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移,转化为相交直线所成的角说明:异面直线所成角的范围是(0,],在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角,常用余弦定理求其大小,当余弦值为负值时,其对应角为钝角,这不符合两条异面直线所成角的定义,故其补角为所求的角,这一点要注意。2π提高:在空间四边形ABCD中,E、F分别是边AD、BC上的点,且AE:ED=BF:FC=1:2,AB=CD=3,EF=,求异面直线AB与CD所成的角7∠EGF或其补角因∠EGF=1200,故AB与CD的夹角为600.
本文标题:2.1.2空间的平行直线与异面直线
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