排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)

排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word版的，记得下载MathType公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。一、排列数公式：!(1)(2)(1)()!mnnAnnnnmnm=---+=-(1)(1)321nnAnnn=--创推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数原理分步进行：第一步，排第一位：有n种选法；第二步，排第二位：有（n-1）种选法；第三步，排第三位：有（n-2）种选法；┋第m步，排第m位：有（n-m+1）种选法；┋最后一步，排最后一位：有1种选法。根据分步乘法原理，得出上述公式。二、组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!mmnnmmAnnnnmnCAmmnm---+===-1nnC=推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：第一步，取第一个：有n种取法；第二步，取第二个：有（n-1）种取法；第三步，取第三个：有（n-2）种取法；┋第m步，取第m个：有（n-m+1）种取法；┋最后一步，取最后一个：有1种取法。上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。将部分排列问题mnA分解为两个步骤：第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题mnC；第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列mmA。根据乘法原理，mmmnnmACA=即：(1)(2)(1)!!!()!mmnnmmAnnnnmnCAmmnm---+===-组合公式也适用于全组合的情况，即求C(n,n)的问题。根据上述公式，C(n,n)=n!/n!(n-n)!=n!/n!0!=1。这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。三、重复组合数公式：重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m次所得的组合。重复组合数公式：1mmnnmRC+-=（m可小于、大于、等于n,n≥1）推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：n个不同的元素看作是n个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m个相同的小球代表取m次；则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！于是答案就是：1(1)!!(1)!mmnnmmnRCmn+-+-==-四、不全相异的全排列在不全相异的n个物体中，假设有n1个物体是相同的，n2个五题是相同的，……，nk个物体是相同的。n个物体中不相同的物体种类数一共有k种。那么，这些物体的全排列数是n!/(n1!n2!…nk!)。可以想成：n个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一种物体有n1!种，第二种物体有n2!种，以此类推。例：有3个红球，2个白球，把这五个球排成一行，问有多少种排法？红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。答：一共有10种，aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bbaaa。五、排列恒等式的证明：①1(1)mmnnAnmA-=-+证明：右边=!!(1)(1)!()!mnnnnmAnmnm-+==-+-左边=右边1mmnnnAAnm-=-证明：右边=(1)!(1)!()!mnnnnAnmnmnm-?=----左边=右边11mmnnAnA--=证明：右边=(1)!!()!()!mnnnnAnmnm-==--②③左边=右边11nnnnnnnAAA++=-证明：右边=11(1)!!(1)!!!nnnnnnAAnnnnnnnnA++-=+-=+-==右边=左边11mmmnnnAAmA-+=+证明：右边=1!!(1)!!(1)!()!(1)!(1)!(1)!mnnnnmnmnnmAnmnmnmnm+-+-++===--+-+-+1!22!33!!(1)!1nnn+??+?+-证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n!=(n+1)!-1！=右边六、组合恒等式的证明首先明弄清组合的两个性质公式：④⑤11mmmnnnAAmA-+=+⑥互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种mnmnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素①1111mmmnnnmnmCCCnmm+-+-+==-证明：111(1)!!()(1)!(1)!!()!11!!(1)!(1)!!()!mmnnmmnnmmnnCCnmnmmnmmnmnmnmnnCCmmmnmmnm+-++===--+----+-+===--+-证明：右边=1(1)!!!(1)!!()!mmnnnnnnCCnmnmmnmmnm--===-----证明：右边=(1)!!(1)!()!!()!mnnnnCmmnmmnm-==---=左边证明：根据组合性质，左边各式可写成：②1mmnnnCCnm-=-③11mmnnnCCm--=⑤1121rrrrrrrrnnCCCCC++++++++=111112111232113431111111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrnnnrrrnnnCCCCCCCCCCCCCCCCC+++++++++++++++++++--+++==-=-=-=-=-左右两边相加即得：1121rrrrrrrrnnCCCCC++++++++=证明：用数学归纳法证明。1）当n=1时，0111122CC+==所以等式成立。2）假设n=k时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。即：0122kkkkkkCCCC++++=当n=k+1时，0121111110011211110120121()()()()()222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC++++++-+++++++++=++++++++=+++++++++==∴等式也成立由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。⑥012nnnnnCCC+++=也可用二项式定理证明（略）证明：用归纳法同上（略）也可利用上述结论证明（略）本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下：设135024nnnnnnaCCCbCCC=+++=+++由（1+1）n可得：a+b=2n=2×2n-1由（1-1）n可得a-b=0∴a=b=2n-1(不懂的去学学二项式定理)证明：由11mmmnnCnC--=可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）左边012311111101231111111=nnnnnn()n2nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCC-------------++++=++++=注：同时利用了⑥的结论。⑦13502412nnnnnnnCCCCCC-++=++=⑧1231232nnnnnnCCCnCn-++++=用二项式定理证明太麻烦了。能偷懒就不要太勤快了。观察左边的每一项，发现均是分别从m个不同素和n个不同元素中取r个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。其所有组合数当然等于右边。还是用偷懒法：根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n即得些结论。⑨0110rrrrmnmnmnnmCCCCCCC-+++++=r≤min{m,n}⑩021222()()()nnnnnnCCCC+++=